Fiche de révision : Outils mathématiques pour la mécanique

📋 Plan du Cours

1. Fonctions trigonométriques et angles
2. Repérage et choix des coordonnées
3. Repère cartésien et position
4. Repère cylindrique et conversions
5. Grandeurs scalaires et vectorielles
6. Composantes et opérations vectorielles
7. Produits scalaire et vectoriel

📖 1. Fonctions trigonométriques et angles

📝 Points essentiels

• Les fonctions trigonométriques étudiées sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente.

• 🔄 La résolution suit trois étapes:

  1. Identifier la fonction trigonométrique adaptée
  2. Déterminer sa valeur pour l’angle considéré
  3. Appliquer la relation trigonométrique correspondante

📖 2. Repérage et choix des coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repérage d’un point : Consiste à lui attribuer trois coordonnées relativement à une origine et à un système de coordonnées adapté au problème.

📝 Points essentiels

• Les systèmes de coordonnées étudiés sont:
  • le repère cartésien
  • le repère cylindro-polaire
  • le repère sphérique

📌 Le système de coordonnées doit être choisi selon le mouvement étudié, car un repère cartésien est adapté à une translation rectiligne tandis qu’un repère polaire ou cylindrique convient davantage à certains mouvements avec rotation.

💡 Astuce mémo

Translation rectiligne → cartésien ; rotation autour d’un axe → cylindrique

📖 3. Repère cartésien et position

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Est défini par une origine, trois axes orientés et trois vecteurs unitaires associés formant un trièdre orthonormé direct.
• Trièdre orthonormé direct : Est formé de vecteurs unitaires de norme 1, deux à deux orthogonaux, et orientés selon la règle de la main droite.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans le repère cartésien, le vecteur position du point M est $\overrightarrow{OM}=x\vec{u}_x+y\vec{u}_y+z\vec{u}_z$.

📐 Formule — La norme du vecteur position vérifie $OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

💡 Astuce mémo

Un trièdre orthonormé direct avec O et les axes x, y, z

📖 4. Repère cylindrique et conversions

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cylindrique : Repère un point M par les coordonnées cylindriques r, φ et z et s’adapte aux situations présentant une symétrie de révolution ou une rotation autour d’un axe fixe.

★ À maîtriser

• Dans les coordonnées cylindriques, r est la distance radiale dans le plan horizontal, φ est l’angle entre l’axe Ox et le vecteur radial, et z est la hauteur de M, identique à la coordonnée cartésienne z.

📐 Formule — Le vecteur position en coordonnées cylindriques s’écrit $\overrightarrow{OM}=r\vec{u}_r+z\vec{u}_z$.

📐 Formule — Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques vérifie $r=\sqrt{x^2+y^2}$, $\varphi=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ et $z=z$.

Compléments

• La base cylindrique (u_r, u_φ, u_z) est orthonormée directe, avec u_r radial, u_φ tangent au cercle de rayon r dans le sens trigonométrique et u_z identique au vecteur unitaire cartésien selon z.

💡 Astuce mémo

Rayon r → angle φ → hauteur z

📖 5. Grandeurs scalaires et vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Est représenté graphiquement par une flèche orientée et est caractérisé notamment par une norme, une direction et un sens.

★ À maîtriser

📌 Une grandeur scalaire est entièrement caractérisée par une valeur numérique et une unité, tandis qu’une grandeur vectorielle nécessite aussi une direction et un sens.

Compléments

• Les exemples de grandeurs scalaires sont:
  • la masse
  • le temps
  • la température
  • le volume

💡 Astuce mémo

Scalaire = valeur et unité ; vecteur = norme, direction et sens

📖 6. Composantes et opérations vectorielles

★ À maîtriser

• La décomposition d’un vecteur consiste à le projeter sur les axes du repère afin d’obtenir ses composantes.

📐 Formule — Dans un repère cartésien du plan, le vecteur allant de A à B s’écrit $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec{u}_x+(y_B-y_A)\vec{u}_y$.

📐 Formule — Dans l’espace, un vecteur s’écrit $\vec{V}=V_x\vec{u}_x+V_y\vec{u}_y+V_z\vec{u}_z$.

Compléments

📐 Formule — Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées $M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

📐 Formule — La distance entre deux points A et B vérifie $d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

📖 7. Produits scalaire et vectoriel

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un repère orthonormé du plan, le produit scalaire de deux vecteurs V et W s’écrit $\vec{V}\cdot\vec{W}=V_xW_x+V_yW_y$.

Compléments

• Le produit vectoriel est distributif vis-à-vis de l’addition.

📊 Tableaux de synthèse

Choix des systèmes de coordonnées