Fiche de révision : Synthèse des probabilités

📋 Plan du Cours

1. Événements contraires et opérations
2. Calculs et probabilités conditionnelles
3. Indépendance des événements
4. Arbres pondérés et probabilités totales

📖 1. Événements contraires et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements contraires : Deux événements n’ont aucune issue en commun et la réunion de leurs issues forme toutes les issues possibles.
• Intersection : Événement formé des issues qui réalisent à la fois A et B, noté $A\cap B$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La probabilité de l’événement contraire de A vérifie $p(\overline{A})=1-p(A)$.

📐 Formule — La probabilité de la réunion de A et B vérifie $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.

💡 Astuce mémo

Contraire : aucune issue commune ; réunion : au moins une issue commune.

📖 2. Calculs et probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité d’un événement : Somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le cas équiprobable, la probabilité de A est $p(A)=\frac{\text{nombre d’événements élémentaires de }A}{\text{nombre total d’événements}}$.

📐 Formule — Si $p(A)\ne0$, la probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé vérifie $p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

Compléments

• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l’univers est égale à 1.

💡 Astuce mémo

Connaître A → restreindre l’univers → calculer la probabilité de B.

📖 3. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Lorsqu’ils n’ont aucune influence l’un sur l’autre.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux événements indépendants A et B, on a $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

📖 4. Arbres pondérés et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Outil partant d’une racine et formé de branches menant à des nœuds, chaque branche portant la probabilité de l’événement correspondant.

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité d’un événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin, par exemple $p(B\cap\overline{A})=p(B)\times p_B(\overline{A})$.

📌 La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins de l’arbre qui aboutissent à cet événement.

• Pour calculer une probabilité par la formule des probabilités totales, on repère les chemins qui mènent à l’événement, on calcule le produit des probabilités de chaque branche, puis on additionne les produits obtenus.

Compléments

📌 La somme des probabilités des branches partant d’un même nœud est égale à 1, par exemple $p_B(A)+p_B(\overline{A})=1$.

• Dans l’application numérique donnée, les deux chemins vers B donnent $0{,}6\times0{,}85=0{,}51$ et $0{,}4\times0{,}28=0{,}112$, donc $P(B)=0{,}51+0{,}112=0{,}622$.

💡 Astuce mémo

Chemins → produits → somme des chemins.