Fiche de révision : Grandeurs et analyse dimensionnelle

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs physiques et unités
2. Révision du Système international
3. Définitions des grandeurs de base
4. Équations et calcul dimensionnels
5. Homogénéité et adimensionnement
6. Lois par analyse dimensionnelle
7. Similitude et modèles réduits
8. Ordres de grandeur et validation

📖 1. Grandeurs physiques et unités

🔑 Notions clés & Définitions

• Système international : Ensemble des unités de mesure constitué de sept unités de base associées aux sept grandeurs de base.

📝 Points essentiels

📌 Les grandeurs physiques se répartissent en grandeurs de base et grandeurs dérivées, ces dernières étant exprimées à partir des grandeurs de base par les équations de la physique.

• Les sept grandeurs de base sont:
  • la longueur
  • la masse
  • le temps
  • l’intensité de courant électrique
  • la température thermodynamique
  • la quantité de matière
  • l’intensité lumineuse

💡 Astuce mémo

Grandeur de base ≠ grandeur dérivée

📖 2. Révision du Système international

★ À maîtriser

• La révision de 2018 a fondé le Système international sur sept constantes de la physique plutôt que sur les unités elles-mêmes.

• La constante d’Avogadro a la valeur fixée N_A = 6,022 140 76 × 10²³ mol⁻¹.

Compléments

• La vitesse de la lumière dans le vide a la valeur fixée c = 299 792 458 m·s⁻¹.

• La constante de Planck a la valeur fixée h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s. — M. Planck

• La charge élémentaire a la valeur fixée e = 1,602 176 634 × 10⁻¹⁹ C.

💡 Astuce mémo

Les sept constantes fondamentales soutiennent le SI comme sept piliers

📖 3. Définitions des grandeurs de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Seconde : Unité SI du temps et est définie par la fréquence de la transition hyperfine de l’état fondamental non perturbé du césium 133, fixée à 9 192 631 770 Hz.
• Mètre : Unité SI de longueur et correspond à la distance parcourue dans le vide par la lumière pendant 1 seconde divisée par 299 792 458.
• Masse : Grandeur scalaire positive qui caractérise statiquement la quantité de matière mesurée par pesée et dynamiquement la résistance d’un corps au changement de vitesse.
• Mole : Unité SI de quantité de matière et contient exactement 6,022 140 76 × 10²³ entités élémentaires.
• Ampère : Unité SI de l’intensité du courant électrique, définie à partir de la charge élémentaire e = 1,602 176 634 × 10⁻¹⁹ C.

📖 4. Équations et calcul dimensionnels

📝 Points essentiels

📐 Formule — La dimension d’une grandeur Q s’écrit $[Q]=T^{\alpha}L^{\beta}M^{\gamma}I^{\delta}\Theta^{\varepsilon}N^{\zeta}J^{\eta}$, où les exposants sont les exposants dimensionnels.

📐 Formule — La dimension de l’énergie cinétique est $[E_c]=ML^2T^{-2}$ à partir de $E_c=\frac{1}{2}mv^2$.

📐 Formule — La dimension d’une force est $[F]=MLT^{-2}$ à partir de $F=ma=m\frac{d^2l}{dt^2}$.

💡 Astuce mémo

Base → équation → dimensions

📖 5. Homogénéité et adimensionnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur adimensionnée : Possède la dimension un, soit parce que sa valeur est déterminée par comptage, soit parce qu’elle est le rapport de deux grandeurs de même dimension.

📝 Points essentiels

📌 Une grandeur possède une seule dimension mais peut être exprimée dans plusieurs unités, par exemple une force en newtons ou en kg·m·s⁻².

📌 Une équation physique homogène possède des termes de même dimension de part et d’autre d’une égalité et dans chaque somme, tandis qu’une équation non homogène est fausse.

💡 Astuce mémo

Dimension ≠ unité ; homogénéité = mêmes dimensions

📖 6. Lois par analyse dimensionnelle

★ À maîtriser

• Pour établir une loi par analyse dimensionnelle, on suppose une loi de puissance, on impose l’homogénéité dimensionnelle, puis on identifie et résout les exposants dimensionnels.

📐 Formule — Pour le soufflé, l’analyse dimensionnelle donne $t=k m^{5/6}\rho^{-1/3}C_P^{-1/2}T^{-1/2}$, de sorte que multiplier la masse par 4 multiplie le temps de cuisson par $4^{5/6}\approx3$.

Compléments

📐 Formule — L’analyse dimensionnelle donne pour la surface d’un carré de côté a la relation $S=k a^2$, où k est une constante adimensionnée.

📐 Formule — Pour une explosion, l’analyse dimensionnelle donne $R=k\left(\frac{Et^2}{\rho}\right)^{1/5}$, où R est le rayon de l’onde de choc, E l’énergie, t le temps et ρ la masse volumique de l’air.

• L’analyse de photographies de l’explosion Trinity du 16 juillet 1945 conduit à une énergie dégagée d’environ 10¹⁴ J, soit environ 100 TJ. — Geoffrey Taylor, The formation of a blast wave by a very intense explosion. II. The atomic explosion of 1945, 1950

💡 Astuce mémo

Hypothèse → dimensions → identification → loi

📖 7. Similitude et modèles réduits

🔑 Notions clés & Définitions

• Similitude : Consiste à adimensionner les grandeurs d’un phénomène afin qu’un modèle réduit reproduise le comportement du système réel.

★ À maîtriser

📌 Pour reproduire les mêmes écoulements dans un modèle réduit, il faut conserver le nombre de Reynolds.

📐 Formule — Le nombre de Reynolds est défini par $Re=\frac{\rho V L}{\mu}$, avec ρ la masse volumique, V la vitesse, L la longueur caractéristique et μ la viscosité dynamique.

Compléments

• Pour un modèle de dirigeable à l’échelle 1/30 étudié dans l’eau afin de reproduire un dirigeable dans l’air à 6 m·s⁻¹, la conservation du nombre de Reynolds conduit à une vitesse du modèle d’environ 12 m·s⁻¹.

💡 Astuce mémo

Conserver le nombre de Reynolds → reproduire le même écoulement

📖 8. Ordres de grandeur et validation

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre de grandeur : Estimation rapide d’une quantité en puissance de dix.

★ À maîtriser

📌 Pour calculer un ordre de grandeur, il faut d’abord vérifier les unités, faire apparaître les puissances de dix, arrondir les valeurs et utiliser des fractions simples si nécessaire.

Compléments

📐 Formule — Le nombre de molécules dans un volume d’eau peut être estimé par $N_0=\frac{\rho_m V}{M}N_A$, ce qui donne environ 6,7 × 10²⁴ molécules pour un verre d’eau.

• Les ordres de grandeur de longueur vont d’environ 10⁻¹⁵ m pour un noyau atomique à 10²⁴ m pour le rayon de la Voie lactée.

• Les ordres de grandeur d’énergie vont d’environ 4 × 10⁻²¹ J pour l’énergie cinétique d’une molécule à température ambiante à 2 × 10¹⁷ J pour la production d’électricité en France.

• L’analyse de la gravité sur Krypton estime que, pour une planète de même taille que la Terre, sa masse devrait être environ 30 fois celle de la Terre afin d’expliquer le saut de Superman.

💡 Astuce mémo

Puissance de dix → estimation rapide → validation du résultat

📊 Tableaux de synthèse

Grandeurs de base et unités SI