Fiche de révision : Nombres réels et vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Calculs sur les fractions
3. Puissances et exposants
4. Racines carrées et valeur absolue
5. Notions fondamentales de vecteur
6. Opérations vectorielles

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : Abscisse d’un point d’une droite graduée
• Entier naturel : Nombre entier positif ou nul
• Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre dont la partie décimale est finie et qui peut s’écrire $\frac{a}{10^n}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$.
• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire $\frac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N}$ non nul.
• Nombre irrationnel : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux nombres entiers, comme $\pi$ ou $\sqrt{2}$.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Calculs sur les fractions

📝 Points essentiels

📌 Pour simplifier une fraction, on peut multiplier ou diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul, mais on ne peut pas ajouter ce nombre aux deux termes.

📐 Formule — Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on utilise $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$.

📐 Formule — La multiplication d’une fraction par un nombre et la multiplication de deux fractions suivent $k\times\frac{a}{b}=\frac{ka}{b}$ et $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📐 Formule — Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur, multiplier, inverser

📖 3. Puissances et exposants

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour un réel a et un entier positif n, la puissance $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une base non nulle et un entier positif n, une puissance négative vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Les règles de calcul des puissances sont $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ et $(a^n)^p=a^{np}$.

Compléments

📌 Pour tout réel a, $a^1=a$ et, si $a\neq0$, $a^0=1$.

📖 4. Racines carrées et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a, et elle se note $\sqrt{a}$.
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est la distance entre 0 et x, et se note $|x|$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, on a $\sqrt{x^2}=|x|$.

📐 Formule — Pour des nombres positifs a et b, les règles de calcul sont $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$ avec $b\neq0$.

Compléments

• Pour simplifier une racine carrée, on extrait les facteurs qui sont des carrés parfaits, puis on additionne les termes semblables.

💡 Astuce mémo

Racine carrée : résultat positif ; valeur absolue : distance à zéro

📖 5. Notions fondamentales de vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Un vecteur non nul est un objet mathématique caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, c’est-à-dire sa longueur.
• Vecteur nul : Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, correspond à un vecteur dont l’origine et l’extrémité sont confondues, comme $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, tandis que deux vecteurs opposés ont la même direction et la même norme mais des sens contraires.

• L’opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$, donc $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$.

• Un point M est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$, ce qui équivaut à $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$.

💡 Astuce mémo

DSN : direction, sens, norme

📖 6. Opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de vecteurs : La somme de deux vecteurs est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des deux translations.
• Multiplication vectorielle : Pour un vecteur non nul u et un réel non nul k, le vecteur ku a la même direction, une norme $\|ku\|=|k|\times\|u\|$, le même sens si k est positif et le sens opposé si k est négatif.

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation de Chasles donne, pour tous points A, B et C, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📐 Formule — La règle du parallélogramme donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

Compléments

📌 Pour tout vecteur u et tout réel k, $0u=\vec{0}$ et $k\vec{0}=\vec{0}$.

💡 Astuce mémo

Chasles : AB + BC = AC ; puis homothétie par k

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques