Fiche de révision : Cinématique et systèmes de repérage

📋 Plan du Cours

1. Modélisation par point matériel
2. Référentiels et relativité du mouvement
3. Repères cartésiens et coordonnées
4. Repérage polaire et base mobile
5. Vecteur position cartésien
6. Repère cylindrique et équivalences

📖 1. Modélisation par point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Décrit le mouvement de corps modélisés comme des points matériels en fonction du temps, sans tenir compte des forces à l’origine de ces mouvements.
• Point matériel : Système dont on peut négliger l’extension spatiale pour décrire son mouvement, de sorte qu’il possède une masse mais ni extension ni orientation.
• Centre de masse : Moyenne des positions pondérée par les masses des points.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un système de masse totale $M=\sum_{i=1}^{N}m_i$, la position du centre de masse vérifie $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\overrightarrow{OM_i}$.

Compléments

• La modélisation par point matériel est justifiée selon le type de mouvement étudié et les dimensions relatives de l’objet par rapport à sa trajectoire.

• Pour un solide indéformable, les points restent à distance constante les uns des autres et la position du solide nécessite celle du centre de masse ainsi que trois angles d’orientation.

💡 Astuce mémo

Point matériel : position seulement ; solide : position et orientation

📖 2. Référentiels et relativité du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Constitué d’un référentiel spatial et d’un repère de temps.
• Référentiel spatial : Ensemble de points fixes entre eux par rapport auquel on repère une position ou un mouvement.

★ À maîtriser

📌 Un mouvement est relatif au référentiel choisi : un étudiant est immobile dans le référentiel terrestre mais mobile dans d’autres référentiels, tandis que la distance entre lui et son siège reste conservée dans tous les référentiels.

• Un référentiel spatial se définit par un point origine, un système d’axes et une unité de longueur, tandis qu’un repère de temps fixe une origine des temps et une unité de temps.

Compléments

• Le référentiel héliocentrique a pour origine le Soleil et des axes dirigés vers des étoiles lointaines ; il est adapté aux mouvements planétaires sur des échelles de temps supérieures à une année.

• Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes dirigés vers des étoiles lointaines ; il est adapté aux mouvements de satellites sur des échelles de temps supérieures à un jour.

• Le référentiel terrestre a pour origine un point de la Terre et des axes liés à sa surface ; il est adapté aux mouvements d’individus sur des échelles de temps très inférieures à un jour.

💡 Astuce mémo

Étudiant immobile dans le référentiel terrestre, mais mobile dans d’autres référentiels

📖 3. Repères cartésiens et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé direct : Composé d’une origine et de trois axes orthogonaux formant un trièdre direct.
• Repère cartésien : Système de coordonnées adapté aux situations sans symétrie remarquable et associé à une base orthonormée directe de vecteurs unitaires.

📝 Points essentiels

• La règle de la main droite permet d’orienter un trièdre direct.

📐 Formule — Dans une base cartésienne, les vecteurs unitaires vérifient $\vec u_x\wedge\vec u_y=\vec u_z$ et $\lVert\vec u_x\rVert=\lVert\vec u_y\rVert=\lVert\vec u_z\rVert=1$.

• Un mouvement peut être décrit en une dimension sur une droite, en deux dimensions dans un plan ou en trois dimensions dans un volume.

💡 Astuce mémo

Un trièdre direct orienté par la règle de la main droite

📖 4. Repérage polaire et base mobile

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère polaire : Décrit un point dans un plan invariant par rotation autour de l’origine à l’aide de la distance radiale ρ et de l’angle φ formé avec l’axe Ox.

★ À maîtriser

📌 La base polaire comprend les vecteurs unitaires radial uρ et orthoradial uφ, et elle est mobile car son orientation dépend de la position du point M.

📐 Formule — Le vecteur position en coordonnées polaires est $\vec r=\overrightarrow{OM}=\rho\vec u_\rho$ et ne possède aucune composante selon uφ.

Compléments

📐 Formule — Dans la base polaire, le vecteur radial vérifie $\vec u_\rho=\frac{\overrightarrow{OM}}{\lVert\overrightarrow{OM}\rVert}$ et les vecteurs vérifient $\widehat{(\vec u_\rho,\vec u_\varphi)}=\frac{\pi}{2}$.

💡 Astuce mémo

Base cartésienne fixe ; base polaire mobile avec le point M

📖 5. Vecteur position cartésien

★ À maîtriser

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, le vecteur position s’écrit $\vec r=\overrightarrow{OM}=x\vec u_x+y\vec u_y+z\vec u_z$.

📐 Formule — La norme du vecteur position cartésien vérifie $\lVert\overrightarrow{OM}\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Compléments

• Les coordonnées cartésiennes x, y et z sont des grandeurs scalaires algébriques ayant la dimension d’une longueur.

📐 Formule — Dans le plan, les coordonnées cartésiennes et polaires sont reliées par $x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$, $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\tan\varphi=\frac{y}{x}$.

💡 Astuce mémo

Composantes x, y, z puis norme de OM

📖 6. Repère cylindrique et équivalences

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cylindrique : Décrit un point M à partir des coordonnées polaires ρ et φ de sa projection H sur le plan xOy, complétées par la coordonnée z.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la base cylindrique (uρ,uφ,uz), le vecteur position vérifie $\vec r=\overrightarrow{OM}=\rho\vec u_\rho+z\vec u_z$.

📌 Les systèmes cartésien, polaire et cylindrique sont équivalents pour repérer un point, mais le choix du repère adapté à la symétrie du problème peut simplifier les expressions mathématiques.

Compléments

• La base cylindrique (uρ,uφ,uz) forme un trièdre direct, avec uρ et uφ dans le plan xOy et uz selon l’axe vertical.

💡 Astuce mémo

Symétrie de rotation → repère polaire ou cylindrique → expressions simplifiées

📊 Tableaux de synthèse

Référentiels courants