Fiche de révision : Arithmétique et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Division et divisibilité
2. Nombres premiers et factorisation
3. PGCD, fractions et diviseurs
4. PPCM et problèmes de synchronisation
5. Théorème de Pythagore
6. Échelles, aires et volumes

📖 1. Division et divisibilité

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans une division euclidienne, $\text{dividende}=\text{diviseur}\times\text{quotient}+\text{reste}$ avec un reste strictement inférieur au diviseur.

• Un nombre est divisible par un autre lorsque le reste de la division est nul ; le premier est alors un multiple du second, et le second est un diviseur du premier.

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

• Un nombre est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement un multiple de 3 ou un multiple de 9.

💡 Astuce mémo

Dividende → diviseur × quotient + reste

📖 2. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier positif qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Pour montrer qu’un nombre n’est pas premier, il suffit de lui trouver un diviseur autre que 1 et lui-même.

• Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers, obtenu ici par divisions successives.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

📖 3. PGCD, fractions et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction simplifiée au maximum, dont le numérateur et le dénominateur n’ont plus de facteur commun à simplifier.
• PGCD : Plus grand diviseur commun à deux nombres ; il permet notamment de simplifier une fraction et de répartir équitablement des éléments.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible, il faut: décomposer le numérateur en facteurs premiers, décomposer le dénominateur en facteurs premiers, simplifier par les facteurs premiers communs

Compléments

• Pour 210 et 175, le PGCD vaut $\operatorname{PGCD}(210;175)=5\times7=35$, donc la fraction $\frac{210}{175}$ devient $\frac{6}{5}$.

📖 4. PPCM et problèmes de synchronisation

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Plus petit multiple commun à deux nombres ; il est utile pour synchroniser des événements qui se répètent à intervalles réguliers.

★ À maîtriser

📌 Pour calculer le PPCM à partir des décompositions en facteurs premiers, on multiplie tous les facteurs présents dans les deux décompositions en les prenant à leur plus haute puissance.

Compléments

• Le PPCM de 210 et 175 est $\operatorname{PPCM}(210;175)=2\times3\times5^2\times7=1050$.

• Deux ampoules qui s’allument toutes les 210 secondes et toutes les 175 secondes se rallument ensemble après 1050 secondes, soit 17 minutes et 30 secondes, à 10 h 17 min 30 s si elles s’allument ensemble à 10 h.

💡 Astuce mémo

Répétitions régulières → PPCM → nouvelle synchronisation

📖 5. Théorème de Pythagore

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle rectangle en B, le carré de l’hypoténuse AC est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit : $AB^2+BC^2=AC^2$.

• Pour calculer une longueur avec le théorème de Pythagore, on vérifie l’angle droit, on repère l’hypoténuse, on écrit l’égalité, on isole le carré de la longueur cherchée, puis on prend la racine carrée.

Compléments

• Dans un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté 5 cm, l’autre côté mesure 12 cm car $BC^2=13^2-5^2=144$ puis $BC=\sqrt{144}=12\text{ cm}$.

💡 Astuce mémo

L’hypoténuse en face de l’angle droit porte le carré égal aux deux autres carrés

📖 6. Échelles, aires et volumes

★ À maîtriser

• Pour un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, les longueurs et les périmètres sont multipliés par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$ ; les angles ne changent pas.

📐 Formule — L’aire d’un carré de côté $c$ vérifie $A=c^2$ et le volume d’un cube de côté $c$ vérifie $V=c^3$.

Compléments

• Un agrandissement de rapport 2 multiplie les périmètres et les longueurs par 2, les aires par $2^2=4$ et les volumes par $2^3=8$.

📌 Dans une réduction, le rapport vérifie $0<k<1$, tandis que dans un agrandissement il vérifie $k>1$.

💡 Astuce mémo

Longueurs k, aires k², volumes k³

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM

Effet d’un rapport k