QCM : Arithmétique et géométrie — 16 questions

Explication

La relation $\text{dividende}=\text{diviseur}\times\text{quotient}+\text{reste}$ donne $157=12\times13+1$. Le reste doit être inférieur au diviseur, contrairement au quotient qui peut être plus grand.

Explication

Un reste nul signifie que le premier nombre est divisible par le second : il est donc son multiple, tandis que le second est son diviseur. Cette situation ne permet pas de conclure que les nombres sont premiers entre eux.

Explication

Le critère de divisibilité par 4 s’applique au nombre formé par les deux derniers chiffres : 36 est divisible par 4. Le seul chiffre des unités suffit pour tester la divisibilité par 2, pas celle par 4.

Explication

La somme des chiffres de 7 452 vaut $7+4+5+2=18$, et 18 est un multiple de 3. Le chiffre des unités et les deux derniers chiffres correspondent à d’autres critères de divisibilité.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même. Le nombre 2 montre notamment qu’un nombre premier peut être inférieur à 10.

Explication

Comme $91=7\times13$, 7 est un diviseur distinct de 1 et de 91, ce qui suffit à prouver que 91 n’est pas premier. Pour prouver qu’un nombre est premier, il faut au contraire exclure l’existence de tels diviseurs.

Explication

La décomposition en facteurs premiers de 84 aboutit aux mêmes facteurs, $84=2\times2\times3\times7$, quel que soit le chemin suivi. Les regroupements intermédiaires peuvent changer, mais pas le produit final des facteurs premiers.

Explication

Une fraction irréductible est simplifiée au maximum : son numérateur et son dénominateur ne partagent plus de facteur permettant une simplification. Ils ne sont pas nécessairement premiers individuellement.

Explication

La simplification consiste à réduire les facteurs communs présents au numérateur et au dénominateur. Les facteurs non communs restent dans la fraction et déterminent sa forme irréductible.

Explication

Le PGCD est le plus grand diviseur commun des deux termes et permet de les diviser par une même valeur. Ici, $\operatorname{PGCD}(210;175)=35$, ce qui conduit à $\frac{210}{175}=\frac{6}{5}$.

Explication

Le PPCM donne le plus petit intervalle de temps commun à des événements périodiques, ce qui permet de prévoir leur synchronisation. Le PGCD recherche au contraire un diviseur commun maximal et ne fournit pas directement le prochain instant commun.

Explication

Le PPCM s’obtient en prenant tous les facteurs présents dans les décompositions, chacun avec son exposant maximal. La méthode des facteurs communs munis de leurs plus basses puissances correspond au PGCD.

Explication

Comme l’angle droit est en B, les côtés AB et BC forment cet angle, tandis qu'AC est l’hypoténuse ; le théorème donne donc $AB^2+BC^2=AC^2$. Les autres égalités placent l’hypoténuse au mauvais côté ou mélangent longueurs et carrés.

Explication

La démarche repose sur l’identification du triangle rectangle et de l’hypoténuse, puis sur l’isolement du carré recherché avant l’extraction de la racine carrée. Repérer le plus petit côté ou effectuer des opérations sur les longueurs elles-mêmes ne correspond pas au théorème.

Explication

Une aire est multipliée par $k^2$ et un volume par $k^3$ ; avec $k=3$, on obtient donc $3^2=9$ et $3^3=27$. Le facteur linéaire $3$ concerne les longueurs et les périmètres, pas l’aire.

Explication

L’aire du carré vaut $c^2=4^2=16\text{ cm}^2$, tandis que le volume du cube vaut $c^3=4^3=64\text{ cm}^3$. Utiliser la même puissance pour les deux figures confond la dimension de l’aire avec celle du volume.