Flashcards : Paquets d’ondes et états quantiques (55 cartes)

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1Question

Que décrit la fonction d’onde complexe $\psi(\vec r,t)$ ?

Réponse

L’état d’une particule.

2Question

Que représente $|\psi(\vec r,t)|^2$ ?

Réponse

La densité de probabilité de présence.

3Question

Quelle est la probabilité de présence dans $d^3r$ autour de $\vec r$ ?

Réponse

$dP(\vec r)=|\psi(\vec r,t)|^2d^3r$ .

4Question

Quelle condition intégrale vérifie une fonction d’onde normalisée sur $D$ ?

Réponse

$\int_D |\psi(\vec r,t)|^2\,d^3r=1$ .

5Question

Quelle longueur d’onde l’hypothèse de de Broglie associe-t-elle à une particule d’impulsion $\vec p$ ?

Réponse

$\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{h}{|\vec p|}$

6Question

Quel vecteur d’onde l’hypothèse de de Broglie associe-t-elle à une particule d’impulsion $\vec p$ ?

Réponse

$\vec k=\frac{\vec p}{\hbar}$

7Question

Quelle équation de Schrödinger satisfait la fonction d’onde d’une particule libre ?

Réponse

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi$

8Question

Pourquoi une onde plane de de Broglie ne représente-t-elle pas une particule normalisable ?

Réponse

Son module carré est constant dans l’espace, donc son intégrale diverge.

9Question

Qu’est-ce qu’un paquet d’ondes ?

Réponse

Une superposition linéaire d’ondes planes de de Broglie dont l’amplitude dépend de l’impulsion.

10Question

Quel est l’ordre de grandeur de l’étalement en position d’un paquet gaussien ?

Réponse

$\Delta r\sim1/\sigma$

11Question

Que permet d’approximer le développement au premier ordre de $\omega(k)$ lorsque $\varphi(k)$ est peu étalée autour de $k_0$ ?

Réponse

La propagation du profil de probabilité à la vitesse de groupe.

12Question

Quelle est la vitesse de groupe d’une particule libre autour de $k_0$ ?

Réponse

$v_g=\frac{\hbar k_0}{m}=\frac{p_0}{m}$

13Question

Que représente $\varphi(\vec p)$ lors d’une mesure de l’impulsion ?

Réponse

L’amplitude de probabilité d’obtenir $\vec p$ .

14Question

Quelle probabilité correspond à une impulsion mesurée dans $d^3p$ autour de $\vec p$ ?

Réponse

$dP(\vec p)=|\varphi(\vec p)|^2d^3p$ .

15Question

Comment exprime-t-on $\langle p_x\rangle$ dans l’espace des positions ?

Réponse

$\langle p_x\rangle=-i\hbar\int \psi^*(\vec r)\frac{\partial\psi}{\partial x}\,d^3r$ .

16Question

Quelle relation lie les incertitudes de position et d’impulsion selon l’axe x ?

Réponse

$\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}$

17Question

Quelle relation lie les incertitudes de position et d’impulsion selon l’axe y ?

Réponse

$\Delta y\,\Delta p_y\geq\frac{\hbar}{2}$

18Question

Quelle relation lie les incertitudes de position et d’impulsion selon l’axe z ?

Réponse

$\Delta z\,\Delta p_z\geq\frac{\hbar}{2}$

19Question

À quoi les relations d’incertitude sont-elles intrinsèques ?

Réponse

À la description quantique.

20Question

De quoi les relations d’incertitude ne résultent-elles pas ?

Réponse

Ni de l’incertitude de mesure ni de la précision des instruments.

21Question

Quelle équation décrit l’évolution de la fonction d’onde dans un potentiel $V(\vec r,t)$ ?

Réponse

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V(\vec r,t)\psi$ .

22Question

Quelle forme prend la fonction d’onde d’un état stationnaire ?

Réponse

$\psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)e^{-iEt/\hbar}$

23Question

Comment évolue la probabilité de présence dans un état stationnaire ?

Réponse

Elle est indépendante du temps.

24Question

Quelle équation de Schrödinger indépendante du temps décrit un système isolé ?

Réponse

$-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec r)+V(\vec r)\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$

25Question

À quelles énergies l’équation de Schrödinger indépendante du temps admet-elle parfois des solutions de carré sommable ?

Réponse

À certains niveaux d’énergie, qui sont des résultats possibles d’une mesure de l’énergie.

26Question

Qu’est-ce qui permet l’apparition d’interférences entre fonctions d’onde ?

Réponse

L’addition de leurs amplitudes de probabilité.

27Question

Quelle position moyenne donne une distribution de position normalisée ?

Réponse

$\langle\vec r\rangle=\int \vec r\,|\psi(\vec r,t)|^2\,d^3r$ .

28Question

Comment s’exprime la variance de la position selon $x$ ?

Réponse

$\Delta x^2=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2=\int x^2|\psi(\vec r,t)|^2\,d^3r-\langle x\rangle^2$ .

29Question

Pourquoi des mesures de position répétées peuvent-elles différer ?

Réponse

Des particules préparées dans le même état peuvent donner des résultats différents.

30Question

Quelle relation lie l’impulsion et la vitesse d’une particule libre non relativiste ?

Réponse

$\vec p=m\vec v$

31Question

Quelle formule donne l’énergie cinétique d’une particule libre non relativiste ?

Réponse

$E=\frac{p^2}{2m}$

32Question

Quelle relation lie l’énergie et la pulsation d’une onde de de Broglie ?

Réponse

$E=\hbar\omega$

33Question

Quelle expression décrit l’onde de de Broglie $\psi(\vec r,t)$ ?

Réponse

$\psi(\vec r,t)=\psi_0 e^{i(\vec p\cdot\vec r-Et)/\hbar}$

34Question

Comment s’exprime le Laplacien en trois dimensions ?

Réponse

$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

35Question

Quelle intégrale exprime un paquet d’ondes en fonction de son amplitude en impulsion ?

Réponse

$\psi(\vec r,t)=\int \varphi(\vec p)e^{i(\vec p\cdot\vec r-Et)/\hbar}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^{3/2}}$

36Question

Quelle relation de Parseval relie les densités de probabilité d’un paquet d’ondes ?

Réponse

$\int |\psi(\vec r,t)|^2d^3r=\int |\varphi(\vec p)|^2d^3p$

37Question

Quelle condition sur $\varphi(\vec p)$ garantit la normalisation du paquet d’ondes ?

Réponse

Elle doit être de carré sommable et normalisée à 1.

38Question

Quelle est la forme d’un paquet gaussien en impulsion en une dimension ?

Réponse

$\varphi(p)=C\exp\left(-\frac{(p-p_0)^2}{2\hbar^2\sigma^2}\right)$

39Question

Que produit une amplitude en impulsion très piquée autour de $p_0$ ?

Réponse

Une fonction d’onde très étalée, proche d’une onde plane.

40Question

Comment s’écrit le paquet d’ondes d’une particule libre en une dimension ?

Réponse

$\psi(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int \varphi(k)e^{i(kx-\omega t)}\,dk$

41Question

Quelle relation relie $\omega(k)$ à $k$ pour une particule libre ?

Réponse

$\omega(k)=\frac{\hbar k^2}{2m}$

42Question

À quelle vitesse se propage le paquet d’ondes libre ?

Réponse

À la vitesse d’une particule classique d’impulsion égale à sa valeur moyenne $p_0$ .

43Question

Quelle grandeur se propage à la vitesse de groupe dans une onde électromagnétique ou acoustique ?

Réponse

La densité d’énergie.

44Question

Quel effet la dispersion produit-elle sur un paquet d’ondes ?

Réponse

Elle provoque son étalement.

45Question

Quelle formule donne la valeur moyenne de l’impulsion à partir de $\varphi(\vec p)$ ?

Réponse

$\langle\vec p\rangle=\int \vec p\,|\varphi(\vec p)|^2\,d^3p$ .

46Question

Quelle formule donne la variance de l’impulsion selon x à partir de $\varphi(\vec p)$ ?

Réponse

$\Delta p_x^2=\int p_x^2|\varphi(\vec p)|^2\,d^3p-\langle p_x\rangle^2$ .

47Question

Quand les dispersions mesurées vérifient-elles les relations d’incertitude pour un ensemble de particules ?

Réponse

Lorsque les particules sont préparées dans un même état et que l’effectif est suffisamment grand.

48Question

À quelle condition la limite classique correspond-elle aux objets macroscopiques ?

Réponse

Lorsque $\delta x\,\delta p_x\gg\hbar$ .

49Question

Dans quelle approximation les prédictions de l’équation de Schrödinger concordent-elles avec l’expérience ?

Réponse

Dans l’approximation non relativiste, lorsque les vitesses sont très inférieures à celle de la lumière.

50Question

Comment l’équation de Schrödinger est-elle posée ?

Réponse

Comme un principe.

51Question

Les relations d’incertitude de Heisenberg restent-elles valables en présence d’un potentiel ?

Réponse

Les relations d’incertitude de Heisenberg restent valables en présence d’un potentiel.

52Question

Qu’est-ce qu’un système isolé ?

Réponse

Un système dont le potentiel ne dépend pas explicitement du temps.

53Question

Comment évoluent la position moyenne et l’impulsion moyenne dans un état stationnaire ?

Réponse

Elles sont indépendantes du temps.

54Question

Quelle condition de sommabilité doit satisfaire une solution physiquement acceptable de l’équation de Schrödinger ?

Réponse

Elle doit être de carré sommable.

55Question

Comment peut-on écrire toute fonction d’onde pour déterminer son évolution temporelle ?

Réponse

Comme une superposition linéaire d’états stationnaires.

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Teste tes connaissances avec un QCM de 20 questions sur Paquets d’ondes et états quantiques.

1. Que représente le module carré de la fonction d’onde complexe $\psi(\vec r,t)$ en un point donné ?

2. Dans une région autour de $\vec r$ , une particule est décrite à l’instant $t$ par $\psi(\vec r,t)$ . Quelle expression donne la probabilité de la trouver dans le petit volume $d^3r$ ?

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