QCM : Paquets d’ondes et états quantiques (20 questions)

Question 1

1. Que représente le module carré de la fonction d’onde complexe $\psi(\vec r,t)$ en un point donné ?

La position moyenne de la particule dans le domaine

La densité de probabilité de présence de la particule

La probabilité totale de présence dans tout le domaine

L’amplitude de probabilité de présence de la particule

Explication

Le module carré de la fonction d’onde donne la densité de probabilité de présence en chaque point. La probabilité totale dans le domaine vaut 1 pour une fonction normalisée, tandis que la fonction d’onde elle-même est une amplitude de probabilité.

Answer

La densité de probabilité de présence de la particule

Question 2

2. Dans une région autour de $\vec r$ , une particule est décrite à l’instant $t$ par $\psi(\vec r,t)$ . Quelle expression donne la probabilité de la trouver dans le petit volume $d^3r$ ?

dP(\vec r)=|\psi(\vec r,t)|^2

dP(\vec r)=\int_D|\psi(\vec r,t)|^2d^3r

dP(\vec r)=|\psi(\vec r,t)|^2d^3r

dP(\vec r)=|\psi(\vec r,t)|d^3r

Explication

La densité de probabilité $|\psi(\vec r,t)|^2$ doit être multipliée par le volume élémentaire pour obtenir la probabilité locale. Le module non élevé au carré confond amplitude et densité, l’expression sans volume oublie l’intégration locale, et l’intégrale sur $D$ correspond à la probabilité totale.

Answer

$$dP(\vec r)=|\psi(\vec r,t)|^2d^3r$$

Question 3

3. Une particule ne peut se trouver que dans un domaine accessible $D$ et sa fonction d’onde est normalisée. Quelle valeur doit avoir l’intégrale de sa densité de probabilité sur $D$ ?

\int_D|\psi(\vec r,t)|^2d^3r=|\psi(\vec r,t)|^2

\int_D|\psi(\vec r,t)|^2d^3r=\frac{1}{2}

\int_D|\psi(\vec r,t)|^2d^3r=1

\int_D|\psi(\vec r,t)|^2d^3r=\mathrm{Vol}(D)

Explication

La normalisation impose que la probabilité totale de trouver la particule dans tout le domaine accessible soit égale à 1. La valeur $\frac{1}{2}$ n’est pas la condition de normalisation, la densité reste une grandeur locale, et le volume du domaine ne fixe pas cette probabilité totale.

Answer

$$\int_D|\psi(\vec r,t)|^2d^3r=1$$

Question 4

4. Une particule possède une impulsion de norme $p$ . Quelle relation permet de déterminer sa longueur d’onde de de Broglie ?

\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{p}{h}

\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{\hbar}{p}

\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{p}{\hbar}

\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{h}{p}

Explication

L’hypothèse de de Broglie associe à l’impulsion de norme $p$ la longueur d’onde $\lambda_{\mathrm{dB}}=h/p$ . La réponse $p/h$ inverse la proportionnalité, tandis que les expressions avec $\hbar$ ou avec $p/\hbar$ ne donnent pas la longueur d’onde de de Broglie.

Answer

$$\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{h}{p}$$

Question 5

5. Une particule de masse $m$ se déplace librement et sa fonction d’onde est $\psi(\vec r,t)$ . Quelle équation doit-elle satisfaire ?

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2}\Delta\psi

Explication

Pour une particule libre, l’évolution de la fonction d’onde est régie par l’équation de Schrödinger avec le laplacien et le coefficient cinétique $-\hbar^2/(2m)$ . Le gradient est une dérivée spatiale de premier ordre, le signe positif inverse le terme cinétique, et l’absence de $m$ omet le facteur de masse.

Answer

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi$$

Question 6

6. Une onde plane de de Broglie possède une amplitude de module constant dans tout l’espace. Pourquoi ne peut-elle pas représenter une particule normalisable ?

Son module carré s’intègre en une quantité divergente sur tout l’espace.

Son impulsion est nulle, ce qui rend sa probabilité totale divergente.

Son module carré s’annule loin de l’origine, ce qui empêche la normalisation.

Son amplitude varie selon la position, ce qui rend son intégrale indéfinie.

Explication

Un module carré constant intégré sur tout l’espace donne une intégrale divergente, donc l’onde plane n’est pas normalisable. Une décroissance spatiale, une amplitude variable et une impulsion nulle ne sont pas les causes décrites ici.

Answer

Son module carré s’intègre en une quantité divergente sur tout l’espace.

Question 7

7. Pour décrire une particule par un paquet d’ondes, quelle combinaison d’ondes est utilisée et de quoi dépend son amplitude ?

Une superposition linéaire d’ondes planes de de Broglie, avec une amplitude dépendant de l’impulsion.

Une superposition linéaire d’ondes planes de de Broglie, avec une amplitude dépendant de la fréquence.

Une superposition linéaire d’ondes planes de de Broglie, avec une amplitude dépendant de la position.

Une onde plane unique de de Broglie, avec une amplitude dépendant de l’impulsion.

Explication

Un paquet d’ondes est une superposition linéaire d’ondes planes de de Broglie, pondérées par une amplitude qui dépend de l’impulsion. L’onde unique omet la superposition, tandis que les dépendances en position ou en fréquence ne correspondent pas à cette définition.

Answer

Une superposition linéaire d’ondes planes de de Broglie, avec une amplitude dépendant de l’impulsion.

Question 8

8. Un paquet gaussien est modifié de sorte que son paramètre $\sigma$ double. D’après les ordres de grandeur des étalements, comment évoluent ses étalements en impulsion et en position ?

L’étalement en impulsion reste inchangé et celui en position est divisé par deux.

L’étalement en impulsion double et celui en position est divisé par deux.

L’étalement en impulsion est divisé par deux et celui en position double.

Les deux étalements doublent.

Explication

Pour un paquet gaussien, $\Delta p\sim\hbar\sigma$ augmente avec $\sigma$ , tandis que $\Delta r\sim1/\sigma$ diminue dans la même proportion. Inverser ces variations, les faire évoluer ensemble ou supprimer la dépendance de l’impulsion contredit ces relations.

Answer

L’étalement en impulsion double et celui en position est divisé par deux.

Question 9

9. Un paquet libre a un spectre $\varphi(k)$ étroit autour de $k_0$ , ce qui permet d’approximer $\omega(k)$ au premier ordre. À quelle vitesse se déplace alors son profil de probabilité ?

À la vitesse de groupe

\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k_0}

.

À la courbure de dispersion

\left.\frac{d^2\omega}{dk^2}\right|_{k_0}

.

À la fréquence centrale

\omega(k_0)

.

À la vitesse de phase

\frac{\omega(k_0)}{k_0}

.

Explication

Lorsque le spectre est assez étroit, le développement limité au premier ordre donne un profil de probabilité qui se propage à la vitesse de groupe, égale à la pente de $\omega(k)$ en $k_0$ . La vitesse de phase, la dérivée seconde et la fréquence centrale ne donnent pas cette vitesse de propagation.

Answer

À la vitesse de groupe $$\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k_0}$$.

Question 10

10. Une particule libre de masse $m$ est décrite par un paquet centré sur une impulsion $p_0$ . Quelle vitesse de groupe faut-il associer à sa propagation ?

\frac{m}{p_0}

.

\frac{p_0^2}{2m}

.

p_0m

.

\frac{p_0}{m}

.

Explication

Pour une particule libre, la vitesse de groupe est $v_g=\hbar k_0/m=p_0/m$ , c’est-à-dire l’impulsion centrale divisée par la masse. Le produit par la masse et le rapport inversé ne respectent pas cette relation, tandis que $p_0^2/(2m)$ correspond à l’énergie cinétique.

Answer

$$\frac{p_0}{m}$$.

Question 11

11. Pour une particule décrite par une amplitude d’impulsion $\varphi(\vec p)$ , quelle expression donne la probabilité de mesurer une impulsion dans un petit volume $d^3p$ autour de $\vec p$ ?

dP(\vec p)=|\varphi(\vec p)|d^3p

dP(\vec p)=\varphi(\vec p)^2d^3p

dP(\vec p)=\int |\varphi(\vec p)|^2d^3p

dP(\vec p)=|\varphi(\vec p)|^2d^3p

Explication

La probabilité dans l’élément de volume $d^3p$ est la densité $|\varphi(\vec p)|^2$ multipliée par cet élément. Prendre le module sans le mettre au carré omet le carré, intégrer donne une probabilité cumulée, et $\varphi^2$ ne remplace pas le carré du module pour une amplitude complexe.

Answer

$$dP(\vec p)=|\varphi(\vec p)|^2d^3p$$

Question 12

12. Dans un calcul en représentation de position, quelle expression faut-il utiliser pour la valeur moyenne de l’impulsion selon $x$ d’un état décrit par $\psi(\vec r)$ ?

-i\hbar\int x\,|\psi(\vec r)|^2\,d^3r

-i\hbar\int \psi^*(\vec r)\frac{\partial\psi}{\partial x}\,d^3r

\int \psi^*(\vec r)\frac{\partial\psi}{\partial x}\,d^3r

-i\hbar\int \psi^*(\vec r)\frac{\partial\psi}{\partial y}\,d^3r

Explication

En représentation de position, la valeur moyenne de la composante $x$ de l’impulsion est l’intégrale de $\psi^*$ multipliée par $-i\hbar$ fois la dérivée de $\psi$ selon $x$ . Omettre le facteur change l’expression de l’opérateur, tandis que la dérivée selon $y$ ou la multiplication par $x$ correspond à d’autres grandeurs.

Answer

$$-i\hbar\int \psi^*(\vec r)\frac{\partial\psi}{\partial x}\,d^3r$$

Question 13

13. Un état quantique a une dispersion de position $\Delta x=2a$ . Quelle condition doit satisfaire sa dispersion d’impulsion $\Delta p_x$ ?

\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}

\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{a}

\Delta p_x=\frac{\hbar}{4a}

\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{4a}

Explication

La relation $\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}$ impose, avec $\Delta x=2a$ , que $\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{4a}$ . La borne contient le facteur $2$ au dénominateur et constitue une inégalité, pas une égalité obligatoire.

Answer

$$\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{4a}$$

Question 14

14. Une équipe améliore la précision de ses instruments, mais observe que les dispersions quantiques de position et d’impulsion restent soumises à la relation de Heisenberg. Quelle interprétation convient ?

La limite est une erreur aléatoire de lecture

La limite provient de la précision finie des instruments

La limite disparaît avec une préparation plus précise

La limite est intrinsèque à la description quantique

Explication

Les relations d’incertitude sont intrinsèques à la description quantique et ne résultent ni de l’incertitude de mesure ni de la précision instrumentale. Les interprétations fondées sur l’imperfection des appareils ou une erreur de lecture confondent ces incertitudes avec les dispersions quantiques.

Answer

La limite est intrinsèque à la description quantique

Question 15

15. Une particule de masse $m$ est soumise à un potentiel $V(\vec r,t)$ . Quelle équation décrit l’évolution temporelle de sa fonction d’onde $\psi(\vec r,t)$ ?

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}+V\psi

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi

Explication

Dans un potentiel dépendant éventuellement de la position et du temps, l’évolution associe le terme cinétique en laplacien au terme potentiel $V\psi$ . L’équation sans potentiel l’omet, la dérivée seconde temporelle confond les variables, et le signe positif inverse le terme cinétique.

Answer

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi$$

Question 16

16. Une particule est placée dans un potentiel et son état quantique est étudié. Que peut-on conclure au sujet des relations d’incertitude de Heisenberg ?

Elles s’appliquent seulement si l’état est stationnaire.

Elles restent valables en présence du potentiel.

Elles cessent de s’appliquer en présence du potentiel.

Elles s’appliquent seulement lorsque la particule est libre.

Explication

Les relations d’incertitude de Heisenberg restent valables même lorsqu’une particule est soumise à un potentiel. L’idée qu’un potentiel les supprime, que l’état stationnaire les annule ou qu’elles soient réservées aux particules libres constitue chaque fois une restriction erronée.

Answer

Elles restent valables en présence du potentiel.

Question 17

17. Une particule possède une énergie définie et constante dans un système isolé. Quelle forme temporelle de fonction d’onde caractérise son état stationnaire ?

\psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)

\psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)e^{iEt/\hbar}

\psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)e^{Et/\hbar}

\psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)e^{-iEt/\hbar}

Explication

Un état stationnaire associé à l’énergie constante $E$ a une fonction d’onde spatiale multipliée par la phase $e^{-iEt/\hbar}$ . Une exponentielle réelle évoque une croissance, l’absence de facteur temporel l’omet, et le signe opposé ne respecte pas la forme caractéristique donnée.

Answer

$$\psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)e^{-iEt/\hbar}$$

Question 18

18. Dans un état stationnaire, quelle grandeur reste indépendante du temps en chaque position de l’espace ?

La probabilité de présence.

La valeur moyenne de l’énergie.

La position moyenne.

La phase de la fonction d’onde.

Explication

Dans un état stationnaire, le facteur temporel de la fonction d’onde est une phase et ne modifie pas son module au carré; la probabilité de présence reste donc constante. La phase peut évoluer, tandis que la position moyenne est une autre grandeur, et l’énergie définie ne remplace pas la propriété portant sur la probabilité locale.

Answer

La probabilité de présence.

Question 19

19. Dans un système isolé où le potentiel $V(\vec r)$ ne dépend pas explicitement du temps, quelle équation doit satisfaire la partie spatiale $\psi(\vec r)$ d’un état d’énergie $E$ ?

\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi=E\psi

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi

-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi=E\psi

-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi=E\psi

Explication

Pour un potentiel indépendant du temps, l’équation stationnaire relie le terme cinétique et le terme potentiel à l’énergie multipliée par la fonction d’onde. L’équation sans potentiel oublie l’interaction, la forme avec dérivée temporelle décrit l’évolution, et le signe positif inverse le terme cinétique.

Answer

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi=E\psi$$

Question 20

20. Pour un système, les solutions de carré sommable de l’équation de Schrödinger indépendante du temps n’existent que pour certaines valeurs de $E$ . Comment appelle-t-on ces valeurs, qui sont des résultats possibles d’une mesure de l’énergie ?

Les énergies exclues.

Les amplitudes de probabilité.

Les énergies moyennes.

Les niveaux d’énergie.

Explication

Les valeurs d’énergie permettant des solutions de carré sommable sont les niveaux d’énergie et correspondent aux résultats possibles d’une mesure. Une énergie moyenne est une autre notion, une valeur exclue ne peut être un résultat permis, et une amplitude de probabilité n’est pas une énergie.

Answer

Les niveaux d’énergie.

QCM : Paquets d’ondes et états quantiques (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que représente le module carré de la fonction d’onde complexe $\psi(\vec r,t)$ en un point donné ?

2. Dans une région autour de $\vec r$ , une particule est décrite à l’instant $t$ par $\psi(\vec r,t)$ . Quelle expression donne la probabilité de la trouver dans le petit volume $d^3r$ ?

3. Une particule ne peut se trouver que dans un domaine accessible $D$ et sa fonction d’onde est normalisée. Quelle valeur doit avoir l’intégrale de sa densité de probabilité sur $D$ ?

4. Une particule possède une impulsion de norme $p$ . Quelle relation permet de déterminer sa longueur d’onde de de Broglie ?

5. Une particule de masse $m$ se déplace librement et sa fonction d’onde est $\psi(\vec r,t)$ . Quelle équation doit-elle satisfaire ?

6. Une onde plane de de Broglie possède une amplitude de module constant dans tout l’espace. Pourquoi ne peut-elle pas représenter une particule normalisable ?

7. Pour décrire une particule par un paquet d’ondes, quelle combinaison d’ondes est utilisée et de quoi dépend son amplitude ?

8. Un paquet gaussien est modifié de sorte que son paramètre $\sigma$ double. D’après les ordres de grandeur des étalements, comment évoluent ses étalements en impulsion et en position ?

9. Un paquet libre a un spectre $\varphi(k)$ étroit autour de $k_0$ , ce qui permet d’approximer $\omega(k)$ au premier ordre. À quelle vitesse se déplace alors son profil de probabilité ?

10. Une particule libre de masse $m$ est décrite par un paquet centré sur une impulsion $p_0$ . Quelle vitesse de groupe faut-il associer à sa propagation ?

11. Pour une particule décrite par une amplitude d’impulsion $\varphi(\vec p)$ , quelle expression donne la probabilité de mesurer une impulsion dans un petit volume $d^3p$ autour de $\vec p$ ?

12. Dans un calcul en représentation de position, quelle expression faut-il utiliser pour la valeur moyenne de l’impulsion selon $x$ d’un état décrit par $\psi(\vec r)$ ?

13. Un état quantique a une dispersion de position $\Delta x=2a$ . Quelle condition doit satisfaire sa dispersion d’impulsion $\Delta p_x$ ?

14. Une équipe améliore la précision de ses instruments, mais observe que les dispersions quantiques de position et d’impulsion restent soumises à la relation de Heisenberg. Quelle interprétation convient ?

15. Une particule de masse $m$ est soumise à un potentiel $V(\vec r,t)$ . Quelle équation décrit l’évolution temporelle de sa fonction d’onde $\psi(\vec r,t)$ ?

16. Une particule est placée dans un potentiel et son état quantique est étudié. Que peut-on conclure au sujet des relations d’incertitude de Heisenberg ?

17. Une particule possède une énergie définie et constante dans un système isolé. Quelle forme temporelle de fonction d’onde caractérise son état stationnaire ?

18. Dans un état stationnaire, quelle grandeur reste indépendante du temps en chaque position de l’espace ?

19. Dans un système isolé où le potentiel $V(\vec r)$ ne dépend pas explicitement du temps, quelle équation doit satisfaire la partie spatiale $\psi(\vec r)$ d’un état d’énergie $E$ ?

20. Pour un système, les solutions de carré sommable de l’équation de Schrödinger indépendante du temps n’existent que pour certaines valeurs de $E$ . Comment appelle-t-on ces valeurs, qui sont des résultats possibles d’une mesure de l’énergie ?

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QCM : Paquets d’ondes et états quantiques (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que représente le module carré de la fonction d’onde complexe ψ(r⃗,t)\psi(\vec r,t)ψ(r,t) en un point donné ?

2. Dans une région autour de r⃗\vec rr, une particule est décrite à l’instant ttt par ψ(r⃗,t)\psi(\vec r,t)ψ(r,t). Quelle expression donne la probabilité de la trouver dans le petit volume d3rd^3rd3r ?

3. Une particule ne peut se trouver que dans un domaine accessible DDD et sa fonction d’onde est normalisée. Quelle valeur doit avoir l’intégrale de sa densité de probabilité sur DDD ?

4. Une particule possède une impulsion de norme ppp. Quelle relation permet de déterminer sa longueur d’onde de de Broglie ?

5. Une particule de masse mmm se déplace librement et sa fonction d’onde est ψ(r⃗,t)\psi(\vec r,t)ψ(r,t). Quelle équation doit-elle satisfaire ?

6. Une onde plane de de Broglie possède une amplitude de module constant dans tout l’espace. Pourquoi ne peut-elle pas représenter une particule normalisable ?

7. Pour décrire une particule par un paquet d’ondes, quelle combinaison d’ondes est utilisée et de quoi dépend son amplitude ?

8. Un paquet gaussien est modifié de sorte que son paramètre σ\sigmaσ double. D’après les ordres de grandeur des étalements, comment évoluent ses étalements en impulsion et en position ?

9. Un paquet libre a un spectre φ(k)\varphi(k)φ(k) étroit autour de k0k_0k0​, ce qui permet d’approximer ω(k)\omega(k)ω(k) au premier ordre. À quelle vitesse se déplace alors son profil de probabilité ?

10. Une particule libre de masse mmm est décrite par un paquet centré sur une impulsion p0p_0p0​. Quelle vitesse de groupe faut-il associer à sa propagation ?

11. Pour une particule décrite par une amplitude d’impulsion φ(p⃗)\varphi(\vec p)φ(p​), quelle expression donne la probabilité de mesurer une impulsion dans un petit volume d3pd^3pd3p autour de p⃗\vec pp​ ?

12. Dans un calcul en représentation de position, quelle expression faut-il utiliser pour la valeur moyenne de l’impulsion selon xxx d’un état décrit par ψ(r⃗)\psi(\vec r)ψ(r) ?

13. Un état quantique a une dispersion de position Δx=2a\Delta x=2aΔx=2a. Quelle condition doit satisfaire sa dispersion d’impulsion Δpx\Delta p_xΔpx​ ?

14. Une équipe améliore la précision de ses instruments, mais observe que les dispersions quantiques de position et d’impulsion restent soumises à la relation de Heisenberg. Quelle interprétation convient ?

15. Une particule de masse mmm est soumise à un potentiel V(r⃗,t)V(\vec r,t)V(r,t). Quelle équation décrit l’évolution temporelle de sa fonction d’onde ψ(r⃗,t)\psi(\vec r,t)ψ(r,t) ?

16. Une particule est placée dans un potentiel et son état quantique est étudié. Que peut-on conclure au sujet des relations d’incertitude de Heisenberg ?

17. Une particule possède une énergie définie et constante dans un système isolé. Quelle forme temporelle de fonction d’onde caractérise son état stationnaire ?

18. Dans un état stationnaire, quelle grandeur reste indépendante du temps en chaque position de l’espace ?

19. Dans un système isolé où le potentiel V(r⃗)V(\vec r)V(r) ne dépend pas explicitement du temps, quelle équation doit satisfaire la partie spatiale ψ(r⃗)\psi(\vec r)ψ(r) d’un état d’énergie EEE ?

20. Pour un système, les solutions de carré sommable de l’équation de Schrödinger indépendante du temps n’existent que pour certaines valeurs de EEE. Comment appelle-t-on ces valeurs, qui sont des résultats possibles d’une mesure de l’énergie ?

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1. Que représente le module carré de la fonction d’onde complexe $\psi(\vec r,t)$ en un point donné ?

2. Dans une région autour de $\vec r$ , une particule est décrite à l’instant $t$ par $\psi(\vec r,t)$ . Quelle expression donne la probabilité de la trouver dans le petit volume $d^3r$ ?

3. Une particule ne peut se trouver que dans un domaine accessible $D$ et sa fonction d’onde est normalisée. Quelle valeur doit avoir l’intégrale de sa densité de probabilité sur $D$ ?

4. Une particule possède une impulsion de norme $p$ . Quelle relation permet de déterminer sa longueur d’onde de de Broglie ?

5. Une particule de masse $m$ se déplace librement et sa fonction d’onde est $\psi(\vec r,t)$ . Quelle équation doit-elle satisfaire ?

8. Un paquet gaussien est modifié de sorte que son paramètre $\sigma$ double. D’après les ordres de grandeur des étalements, comment évoluent ses étalements en impulsion et en position ?

9. Un paquet libre a un spectre $\varphi(k)$ étroit autour de $k_0$ , ce qui permet d’approximer $\omega(k)$ au premier ordre. À quelle vitesse se déplace alors son profil de probabilité ?

10. Une particule libre de masse $m$ est décrite par un paquet centré sur une impulsion $p_0$ . Quelle vitesse de groupe faut-il associer à sa propagation ?

11. Pour une particule décrite par une amplitude d’impulsion $\varphi(\vec p)$ , quelle expression donne la probabilité de mesurer une impulsion dans un petit volume $d^3p$ autour de $\vec p$ ?

12. Dans un calcul en représentation de position, quelle expression faut-il utiliser pour la valeur moyenne de l’impulsion selon $x$ d’un état décrit par $\psi(\vec r)$ ?

13. Un état quantique a une dispersion de position $\Delta x=2a$ . Quelle condition doit satisfaire sa dispersion d’impulsion $\Delta p_x$ ?

15. Une particule de masse $m$ est soumise à un potentiel $V(\vec r,t)$ . Quelle équation décrit l’évolution temporelle de sa fonction d’onde $\psi(\vec r,t)$ ?

19. Dans un système isolé où le potentiel $V(\vec r)$ ne dépend pas explicitement du temps, quelle équation doit satisfaire la partie spatiale $\psi(\vec r)$ d’un état d’énergie $E$ ?

20. Pour un système, les solutions de carré sommable de l’équation de Schrödinger indépendante du temps n’existent que pour certaines valeurs de $E$ . Comment appelle-t-on ces valeurs, qui sont des résultats possibles d’une mesure de l’énergie ?