Fiche de révision : Paquets d’ondes et états quantiques

📋 Plan du Cours

1. Fonction d’onde et mesure de position
2. Ondes de de Broglie et particule libre
3. Paquets d’ondes et transformée de Fourier
4. Propagation du paquet d’ondes
5. Mesure de l’impulsion
6. Incertitude de Heisenberg
7. Équation de Schrödinger
8. Systèmes isolés et états stationnaires

📖 1. Fonction d’onde et mesure de position

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’onde : La fonction d’onde complexe $\psi(\vec r,t)$ décrit l’état d’une particule et son module carré donne la densité de probabilité de présence.

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité de trouver la particule dans un volume élémentaire $d^3r$ autour de $\vec r$ à l’instant $t$ vaut $dP(\vec r)=|\psi(\vec r,t)|^2d^3r$.

📐 Formule - La fonction d’onde normalisée vérifie $\int_D |\psi(\vec r,t)|^2\,d^3r=1$ sur le domaine accessible $D$.

Compléments

📌 Toute superposition linéaire de fonctions d’onde est une fonction d’onde possible, et l’addition des amplitudes de probabilité permet l’apparition d’interférences.

📐 Formule - Pour une distribution de position normalisée, la position moyenne vérifie $\langle\vec r\rangle=\int \vec r\,|\psi(\vec r,t)|^2\,d^3r$.

📐 Formule - L’écart-type de la position selon $x$ vérifie $\Delta x^2=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2=\int x^2|\psi(\vec r,t)|^2\,d^3r-\langle x\rangle^2$.

📌 Une mesure de position donne un résultat défini à la résolution de l’appareil près, mais des mesures répétées sur des particules préparées dans le même état peuvent donner des résultats différents.

📖 2. Ondes de de Broglie et particule libre

★ À maîtriser

📐 Formule - L’hypothèse de de Broglie associe à une particule d’impulsion $\vec p$ la longueur d’onde $\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{h}{|\vec p|}$ et le vecteur d’onde $\vec k=\frac{\vec p}{\hbar}$.

📐 Formule - Pour une particule libre, la fonction d’onde satisfait l’équation de Schrödinger $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi$.

Compléments

📐 Formule - Pour une particule libre non relativiste, l’impulsion et l’énergie cinétique vérifient $\vec p=m\vec v$ et $E=\frac{p^2}{2m}$.

📐 Formule - La relation entre l’énergie et la pulsation est $E=\hbar\omega$, et une onde de de Broglie s’écrit $\psi(\vec r,t)=\psi_0 e^{i(\vec p\cdot\vec r-Et)/\hbar}$.

📐 Formule - En trois dimensions, le Laplacien est $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$.

📖 3. Paquets d’ondes et transformée de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Paquet d’ondes : Superposition linéaire d’ondes planes de de Broglie dont l’amplitude dépend de l’impulsion.

★ À maîtriser

📌 Une onde plane de de Broglie a un module carré constant dans l’espace, son intégrale diverge et elle ne peut donc pas représenter une particule normalisable.

📌 Pour un paquet gaussien, l’étalement en impulsion est de l’ordre de $\Delta p\sim\hbar\sigma$ et celui en position de l’ordre de $\Delta r\sim1/\sigma$.

Compléments

📐 Formule - Un paquet d’ondes s’écrit $\psi(\vec r,t)=\int \varphi(\vec p)e^{i(\vec p\cdot\vec r-Et)/\hbar}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^{3/2}}$, avec une amplitude choisie de sorte que l’intégrale soit définie et que $\psi$ soit normalisée.

📌 Les fonctions $\psi(\vec r,t)$ et $\varphi(\vec p)e^{-iEt/\hbar}$ sont liées par une transformée de Fourier spatiale, et le théorème de Parseval donne $\int |\psi(\vec r,t)|^2d^3r=\int |\varphi(\vec p)|^2d^3p$.

📌 La normalisation du paquet d’ondes est assurée si et seulement si sa fonction d’amplitude en impulsion $\varphi(\vec p)$ est de carré sommable et normalisée à 1.

• En une dimension, un exemple de paquet gaussien en impulsion est $\varphi(p)=C\exp\left(-\frac{(p-p_0)^2}{2\hbar^2\sigma^2}\right)$, où $C$ est une constante de normalisation.

📌 Une amplitude en impulsion très piquée autour de $p_0$ produit une fonction d’onde très étalée, proche d’une onde plane, tandis qu’une amplitude très large produit une fonction d’onde concentrée autour de $r_0$.

💡 Astuce mémo

Impulsion resserrée → position étalée ; impulsion étalée → position resserrée.

📖 4. Propagation du paquet d’ondes

★ À maîtriser

• Lorsque l’étalement de $\varphi(k)$ autour de $k_0$ est assez faible, le développement limité au premier ordre de $\omega(k)$ conduit à une propagation du profil de probabilité à la vitesse de groupe $v_g=\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k_0}$.

📐 Formule - Pour une particule libre, la vitesse de groupe vaut $v_g=\frac{\hbar k_0}{m}=\frac{p_0}{m}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une particule libre en une dimension, le paquet d’ondes s’écrit $\psi(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int \varphi(k)e^{i(kx-\omega t)}\,dk$.

📐 Formule - Pour une particule libre, $\omega(k)=\frac{\hbar k^2}{2m}$.

• La vitesse de propagation du paquet d’ondes libre est celle d’une particule classique d’impulsion égale à la valeur moyenne $p_0$ du paquet.

• Pour une onde électromagnétique ou acoustique, c’est la densité d’énergie qui se propage à la vitesse de groupe.

• La dispersion provoque aussi un étalement du paquet d’ondes, comme le montre un calcul exact.

💡 Astuce mémo

Dispersion de ω(k) → étalement du paquet

📖 5. Mesure de l’impulsion

★ À maîtriser

• L’amplitude $\varphi(\vec p)$ est interprétée comme l’amplitude de probabilité d’obtenir l’impulsion $\vec p$ lors d’une mesure.

📐 Formule - La probabilité de mesurer une impulsion dans un volume $d^3p$ autour de $\vec p$ vaut $dP(\vec p)=|\varphi(\vec p)|^2d^3p$.

📐 Formule - La valeur moyenne de l’impulsion selon x s’écrit dans l’espace des positions $\langle p_x\rangle=-i\hbar\int \psi^*(\vec r)\frac{\partial\psi}{\partial x}\,d^3r$.

Compléments

📐 Formule - La valeur moyenne de l’impulsion est $\langle\vec p\rangle=\int \vec p\,|\varphi(\vec p)|^2\,d^3p$.

📐 Formule - La variance de la composante d’impulsion selon x est $\Delta p_x^2=\int p_x^2|\varphi(\vec p)|^2\,d^3p-\langle p_x\rangle^2$.

📖 6. Incertitude de Heisenberg

★ À maîtriser

📐 Formule - Les incertitudes de position et d’impulsion vérifient $\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}$, $\Delta y\,\Delta p_y\geq\frac{\hbar}{2}$ et $\Delta z\,\Delta p_z\geq\frac{\hbar}{2}$.

• Les relations d’incertitude sont intrinsèques à la description quantique et ne résultent ni de l’incertitude de mesure ni de la précision des instruments.

Compléments

• Pour un ensemble de particules préparées dans un même état, les dispersions mesurées de position et d’impulsion vérifient les relations d’incertitude lorsque l’effectif est suffisamment grand.

• Pour des objets macroscopiques, la limite classique correspond au cas où l’incertitude instrumentale vérifie $\delta x\,\delta p_x\gg\hbar$.

💡 Astuce mémo

Position précise ≠ impulsion précise

📖 7. Équation de Schrödinger

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un potentiel $V(\vec r,t)$, l’évolution de la fonction d’onde obéit à $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V(\vec r,t)\psi$.

Compléments

• L’équation de Schrödinger est posée comme un principe et ses prédictions sont en accord avec l’expérience dans l’approximation non relativiste, lorsque les vitesses sont très inférieures à celle de la lumière.

• Les relations d’incertitude de Heisenberg restent valables en présence d’un potentiel.

📖 8. Systèmes isolés et états stationnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• État stationnaire : un état de la forme $\psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)e^{-iEt/\hbar}$, associé à une énergie définie et constante
• Système isolé : un système dont le potentiel ne dépend pas explicitement du temps

★ À maîtriser

• Dans un état stationnaire, la probabilité de présence est indépendante du temps.

📐 Formule - Pour un système isolé, l’équation de Schrödinger indépendante du temps est $-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec r)+V(\vec r)\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$.

• L’équation de Schrödinger indépendante du temps peut n’admettre des solutions de carré sommable que pour certaines énergies, appelées niveaux d’énergie et correspondant aux résultats possibles d’une mesure de l’énergie.

Compléments

• Dans un état stationnaire, la position moyenne et l’impulsion moyenne sont indépendantes du temps.

📌 Une solution physiquement acceptable de l’équation de Schrödinger doit être de carré sommable.

• Toute fonction d’onde peut s’écrire comme une superposition linéaire d’états stationnaires, ce qui permet de déduire son évolution temporelle à partir des états propres et des énergies déterminés par l’équation indépendante du temps.