Fiche de révision : Physique des fluides et des ondes

📋 Plan du Cours

1. Limites et dérivation
2. Intégrales et fonctions usuelles
3. Géométrie et vecteurs
4. Bases vectorielles et projections
5. Référentiels et opérations vectorielles
6. Unités et analyse dimensionnelle
7. Mouvement et lois de Newton
8. Interactions fondamentales
9. Énergie, travail et puissance
10. Champs et condensateurs électriques
11. Électrocardiogramme et dipôle cardiaque
12. Fluides parfaits et hydrostatique
13. Écoulements visqueux et résistances
14. Gaz parfaits et pressions partielles
15. Ondes sonores et interfaces

📖 1. Limites et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : Valeur, finie ou infinie, vers laquelle la fonction se rapproche lorsque la variable tend vers cette valeur.
• Dérivée : Coefficient directeur de la tangente à sa courbe en ce point et correspond à la limite du taux d’accroissement lorsque l’écart entre les deux points tend vers zéro.

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée s’écrit $f'(x)=\frac{df}{dx}$ et sa différentielle vérifie $df=f'(x)\,dx$.

📌 Si $f'(x)>0$, la fonction est croissante, si $f'(x)<0$, elle est décroissante et si $f'(x)=0$, elle est constante à cet endroit.

Compléments

📐 Formule — Le coefficient directeur d’une droite passant par deux points s’écrit $d=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$.

📐 Formule — La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première et s’écrit $f''(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$.

💡 Astuce mémo

Écart entre deux points → pente locale → dérivée

📖 2. Intégrales et fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale : Aire algébrique obtenue comme la limite d’une somme d’aires rectangulaires infinitésimales.
• Primitive : Fonction F dont la dérivée est f, ce qui s’écrit $f(x)=\frac{dF}{dx}$.
• Exponentielle : Définie sur tous les réels, prend des valeurs strictement positives et est égale à sa dérivée ainsi qu’à une primitive à constante additive près.
• Logarithme népérien : Fonction réciproque de l’exponentielle et n’est défini que pour les réels strictement positifs.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème fondamental de l’analyse donne $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ lorsqu’une primitive de f est F.

Compléments

📐 Formule — L’intégrale sur l’intervalle $[a,b]$ vérifie $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.

📐 Formule — La variation relative d’une grandeur Q est $\frac{\Delta Q}{Q}=\frac{Q_{final}-Q_{initial}}{Q_{initial}}$ et est sans dimension.

📐 Formule — Pour $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$, une variation relative de la charge de 1,5 % et de la distance de −3 % entraîne une variation relative du champ de 7,5 %.

💡 Astuce mémo

Dériver décrit une variation, intégrer cumule une aire

📖 3. Géométrie et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet mathématique représentant une grandeur directionnelle grâce à quatre caractéristiques : le point d’application, la direction, le sens et la norme.
• Base vectorielle : Constituée de vecteurs unitaires non colinéaires permettant d’exprimer tout vecteur comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.

★ À maîtriser

• L’aire représente la surface d’une figure et s’exprime en mètres carrés dans le système international, tandis que le volume représente l’espace occupé en trois dimensions et s’exprime en mètres cubes.

📐 Formule — Un angle plan vérifie $\alpha=\frac{\widehat{AB}}{R}$ et varie de 0 à $2\pi$ radians, tandis qu’un angle solide vérifie $\Omega=\frac{A}{R^2}$ et varie de 0 à $4\pi$ stéradians.

• Projeter un vecteur sur un axe consiste à déterminer sa composante selon cet axe à partir de sa norme et de l’angle qu’il forme avec cet axe.

Compléments

📐 Formule — Les principales formules d’aire sont $A_{carre}=a^2$, $A_{rectangle}=L\ell$, $A_{disque}=\pi r^2$, $A_{sphere}=4\pi r^2$ et $A_{cylindre,total}=2\pi rL+2\pi r^2$.

📐 Formule — Les principaux volumes sont $V_{cube}=a^3$, $V_{pave}=L\ell h$, $V_{sphere}=\frac{4}{3}\pi r^3$ et $V_{cylindre}=\pi r^2L$.

💡 Astuce mémo

Un vecteur comme une flèche portant origine, direction, sens et longueur

📖 4. Bases vectorielles et projections

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur unitaire : Le vecteur unitaire orienté de O vers M est défini par $\vec{u_i}=\frac{\overrightarrow{OM}}{\|OM\|}$ et sa norme vaut 1.
• Projection vectorielle : Étude de la valeur de la composante d’un vecteur selon un axe.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un vecteur de norme $\|\vec v\|$ faisant un angle $\alpha$ avec deux axes perpendiculaires, les normes de ses projections vérifient $\|\vec v_x\|=\|\vec v\|\cos(\alpha)$ et $\|\vec v_y\|=\|\vec v\|\sin(\alpha)$.

Compléments

📐 Formule — Le vecteur $\overrightarrow{OA}$ peut s’écrire $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+\vec{j}$ dans la base formée par $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

💡 Astuce mémo

Une base crée, une projection mesure.

📖 5. Référentiels et opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Système de référence associé à un repère de temps et d’espace, par rapport auquel on étudie un système et son mouvement.
• Référentiel cartésien : Dans un référentiel cartésien tridimensionnel, les vecteurs directeurs $\vec u_x$, $\vec u_y$ et $\vec u_z$ sont unitaires et orthogonaux entre eux.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un référentiel cartésien, le vecteur position d’un point M de coordonnées (x,y,z) est $\overrightarrow{OM}=x\vec u_x+y\vec u_y+z\vec u_z$ et sa norme vaut $\|\overrightarrow{OM}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées (x,y,z) et (x′,y′,z′) vaut $\vec u\cdot\vec v=xx′+yy′+zz′=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\theta)$.

📌 Le produit scalaire est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus.

Compléments

📐 Formule — La multiplication d’un vecteur par un scalaire agit sur chacune de ses coordonnées : $\lambda\vec u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$.

📖 6. Unités et analyse dimensionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Analyse dimensionnelle : Méthode permettant de vérifier qu’une expression littérale est homogène à la grandeur physique recherchée.

★ À maîtriser

• Le système international comporte 7 unités de base:
  • le kilogramme pour la masse
  • le mètre pour la longueur
  • la seconde pour le temps
  • le kelvin pour la température
  • la mole pour la quantité de matière
  • l’ampère pour l’intensité électrique
  • la candela pour l’intensité lumineuse

Compléments

• Une force s’exprime en newtons, unité équivalente à $\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}}$.

📌 Les nombres purs, les angles, les exponentielles, les logarithmes, les cosinus, les sinus et les tangentes ont une dimension égale à 1.

📖 7. Mouvement et lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Système : Ensemble des points ou partie de l’univers physique que l’on choisit d’analyser.
• Référentiel galiléen : Référentiel dans lequel tout corps ne subissant aucune force décrit un mouvement rectiligne uniforme.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La vitesse est la dérivée temporelle de la position et l’accélération est la dérivée temporelle de la vitesse : $\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$ et $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

📐 Formule — La quantité de mouvement d’un système de masse m et de vitesse $\vec v$ est $\vec p=m\vec v$.

📐 Formule — Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton s’écrit $\sum\vec F_{ext}=\frac{d\vec p}{dt}$, et pour une masse constante $\sum\vec F_{ext}=m\vec a$.

📌 Selon le principe d’inertie, un système immobile ou en mouvement rectiligne uniforme possède une résultante des forces nulle.

💡 Astuce mémo

Force résultante → accélération → variation de la vitesse.

📖 8. Interactions fondamentales

📝 Points essentiels

📐 Formule — La norme de la force gravitationnelle entre deux masses mA et mB séparées par une distance r vaut $\|\vec F_g\|=G\frac{m_A m_B}{r^2}$.

📐 Formule — La norme de la force électrostatique entre deux charges q1 et q2 séparées par r vaut $\|\vec F_e\|=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q_1q_2}{r^2}$.

💡 Astuce mémo

La gravitation attire toujours, l’électrostatique attire ou repousse.

📖 9. Énergie, travail et puissance

📝 Points essentiels

📌 L’énergie totale d’un système isolé, sur lequel le milieu extérieur n’agit pas, se conserve.

📐 Formule — L’énergie cinétique d’un système de masse m et de vitesse v vaut $E_c=\frac12mv^2$.

📐 Formule — L’énergie potentielle de pesanteur vaut $E_{pp}=mgz$ et dépend de l’altitude z du système dans le champ de pesanteur.

📐 Formule — L’énergie potentielle élastique d’un ressort vaut $E_{pe}=\frac12kx^2=\frac12k(l-l_0)^2$ et sa force de rappel a pour norme $\|\vec F_r\|=kx$.

📐 Formule — L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de toutes les énergies potentielles : $E_m=E_c+\sum E_{pot}$.

📐 Formule — Le travail élémentaire d’une force est $dW=\vec F\cdot d\vec l=F\,dl\cos(\theta)$ et le travail entre A et B vaut $W_{AB}=\int_A^B\vec F\cdot d\vec l$.

📐 Formule — La puissance est l’énergie ou le travail échangé par unité de temps : $P=\frac{dE}{dt}=\frac{dW}{dt}=\vec F\cdot\vec v$.

📐 Formule — Le théorème de l’énergie cinétique donne $W_{AB}=\Delta E_c=E_{c,B}-E_{c,A}=\frac12m(v_B^2-v_A^2)$.

💡 Astuce mémo

Force → travail → énergie → puissance.

📖 10. Champs et condensateurs électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrique : Formé de deux charges de valeurs absolues égales et de signes opposés, séparées par une faible distance.
• Condensateur plan : Composant formé de deux plaques uniformément chargées et opposées, disposées face à face pour stocker et libérer de l’énergie électrique.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le poids est relié au champ gravitationnel par $\vec P=m\vec g$.

📐 Formule — Le champ électrique créé par une charge ponctuelle Q à la distance r vaut $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}$ et la force exercée sur une charge q vaut $\vec F_e=q\vec E$.

📐 Formule — Les densités de charge linéique, surfacique et volumique sont respectivement $\lambda=\frac{dq}{dl}$, $\sigma=\frac{dq}{dS}$ et $\rho=\frac{dq}{dV}$.

📐 Formule — Dans une distribution discrète de charges, le champ électrique résultant est la somme des champs individuels : $\vec E_{tot}=\sum_i\vec E_i$.

📐 Formule — Le moment dipolaire vaut $\vec p=q\overrightarrow{NP}$, est orienté de la charge négative vers la charge positive et possède une norme $\|\vec p\|=qa$.

📐 Formule — Entre les plaques d’un condensateur plan, le champ est uniforme et sa norme vaut $\|\vec E\|=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{Q}{\varepsilon S}$; à l’extérieur, il est nul.

📐 Formule — La différence de potentiel entre les plaques d’un condensateur plan vaut $|\Delta V|=Eh=\left|\frac{\sigma h}{\varepsilon}\right|$ et le potentiel décroît linéairement de la plaque positive vers la plaque négative.

📐 Formule — La capacité d’un condensateur plan vaut $C=\left|\frac{Q}{\Delta V}\right|=\frac{|S\varepsilon|}{h}$ et dépend uniquement de sa géométrie et du matériau entre les plaques.

• Lors d’un ECG, des électrodes placées sur le corps mesurent des potentiels électriques afin d’obtenir des informations sur les projections du moment dipolaire cardiaque.

Compléments

📐 Formule — La charge d’un objet composé de N charges élémentaires vaut $q=Ne$, avec $e=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm C$.

💡 Astuce mémo

Charge → champ → potentiel → énergie.

📖 11. Électrocardiogramme et dipôle cardiaque

🔑 Notions clés & Définitions

• Polarisation membranaire : Excès de charges négatives à l’intérieur de la cellule et de charges positives à l’extérieur.
• Dipôle cardiaque : Représentation de la répartition des charges liée à la propagation de la dépolarisation dans le cœur, et son moment dipolaire est décrit par un vecteur dont la norme et la direction varient au cours du temps.

★ À maîtriser

• Une cellule cardiaque se contracte après une dépolarisation provoquée par l’entrée de charges positives à travers des canaux membranaires, et cette dépolarisation se propage progressivement dans le cœur.

• Le complexe QRS correspond à la contraction des ventricules cardiaques et constitue un moment du cycle où l’on étudie la norme et la direction du moment dipolaire.

• Analyser un ECG consiste à déduire la norme et la direction du moment dipolaire cardiaque à partir de ses projections mesurées sur différents axes par des électrodes placées sur le patient.

📐 Formule — Le potentiel mesuré sur une dérivation est proportionnel au produit scalaire du moment dipolaire et du vecteur unitaire de la dérivation : $V\propto\vec p\cdot\vec u_{CM}$.

• Pour déterminer l’orientation du moment dipolaire, on utilise le signe des potentiels pour barrer successivement les demi-cercles incompatibles jusqu’à conserver un seul secteur.

📐 Formule — Dans une base orthonormée, la norme du moment dipolaire se calcule par $p=\sqrt{(\vec p\cdot\vec u_x)^2+(\vec p\cdot\vec u_y)^2}$.

Compléments

📐 Formule — Pour les dérivations des membres, les différences de potentiel sont $V_I=V_L-V_R$, $V_{II}=V_F-V_R$ et $V_{III}=V_F-V_L$.

💡 Astuce mémo

Dépolarisation → dipôle cardiaque → projections mesurées par l’ECG

📖 12. Fluides parfaits et hydrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Masse volumique : Masse d’un fluide par unité de volume et vérifie $\rho=\frac{m}{V}$, avec une unité SI en $\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$.
• Pression : Force exercée par unité de surface et vérifie $p=\frac{F}{S}$, avec une unité SI en pascals, équivalente à $\mathrm{N\cdot m^{-2}}$.
• Tension sanguine : La tension sanguine est définie par $T=p_{sang}-p_{atm}$ ; une tension annoncée à 120 mmHg correspond donc à une pression sanguine de 880 mmHg.

★ À maîtriser

• Les unités de pression sont reliées par $1\,\mathrm{bar}=1\,\mathrm{atm}=760\,\mathrm{mmHg}=10^5\,\mathrm{Pa}$.

📐 Formule — La loi de l’hydrostatique s’écrit $dp+\rho g\,dz=0$ et, entre deux points A et B, $p_A-p_B=\rho g(z_B-z_A)$.

Compléments

• La conversion des volumes repose sur l’égalité $1\,\mathrm{L}=1\,\mathrm{dm^3}=10^{-3}\,\mathrm{m^3}$, donc $3\,\mathrm{kg\cdot L^{-1}}=3\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$.

📌 Dans un liquide incompressible, la masse volumique reste constante malgré les variations de pression, et la pression est continue à une interface air-liquide.

💡 Astuce mémo

Altitude ↑ → pression ↓ ; profondeur ↑ → pression ↑

📖 13. Écoulements visqueux et résistances

🔑 Notions clés & Définitions

• Débit : Volume de fluide traversant un endroit par unité de temps et vérifie $Q=\frac{dV}{dt}=Sv$ dans un tuyau cylindrique.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un circuit en série, le débit se conserve selon $Q_1=Q_2$ et $S_1v_1=S_2v_2$ ; lorsque la section diminue, la vitesse augmente, ce qui constitue l’effet Venturi.

📐 Formule — Dans un circuit en parallèle, le débit total est la somme des débits des branches : $Q_{tot}=Q_1+Q_2+Q_3$, soit $S_1v_1=S_2v_2+S_3v_3$.

📐 Formule — La loi de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie d’un fluide parfait : $p_A+\rho gz_A+\frac12\rho v_A^2=p_B+\rho gz_B+\frac12\rho v_B^2$.

📐 Formule — Une pompe ajoutant une surpression $\Delta\pi$ modifie Bernoulli selon $\Delta\pi+p_A+\rho gz_A+\frac12\rho v_A^2=p_B+\rho gz_B+\frac12\rho v_B^2$ et fournit une puissance $P_{pompe}=\Delta\pi Q$.

Compléments

📐 Formule — La section d’un tuyau cylindrique de rayon r vaut $S=\pi r^2$.

📌 Un obstacle tangent à la trajectoire ne modifie pas l’écoulement et conserve une vitesse égale à la vitesse moyenne, tandis qu’un obstacle frontal impose une vitesse locale nulle.

💡 Astuce mémo

Série : résistances s’additionnent ; parallèle : inverses s’additionnent

📖 14. Gaz parfaits et pressions partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Viscosité : Caractérise les frottements entre les particules d’un fluide réel et contre les parois du tuyau.

★ À maîtriser

📌 Dans un fluide réel, le profil de vitesse est parabolique, la vitesse est maximale au centre du tube et nulle aux parois, tandis qu’elle est homogène dans un fluide parfait.

📐 Formule — La résistance hydraulique d’un tuyau est $R=\frac{8\eta L}{\pi a^4}$ et la perte de charge visqueuse vérifie $\Delta p=RQ$.

📐 Formule — Pour un fluide visqueux, le théorème de Bernoulli modifié s’écrit $p_A+\rho gz_A+\frac12\rho v_A^2=p_B+\rho gz_B+\frac12\rho v_B^2+\Delta p$.

📐 Formule — En série, les débits sont égaux, les pertes de charge s’additionnent et la résistance équivalente vaut $R_{eq}=\sum_iR_i$.

📐 Formule — En parallèle, la perte de charge est identique dans chaque branche, le débit total vaut $Q_{tot}=\sum_iQ_i$ et la résistance équivalente vérifie $\frac1{R_{eq}}=\sum_i\frac1{R_i}$.

Compléments

📐 Formule — La vitesse moyenne d’un fluide visqueux vaut $\bar v=\frac12v_{max}$ et le débit s’écrit $Q=S\bar v$.

📐 Formule — La puissance dissipée par les frottements vaut $P_{dissipée}=\Delta p\,Q=RQ^2$.

📖 15. Ondes sonores et interfaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de matière : Mesure le nombre de particules par paquets de moles et vérifie $n=\frac{N}{N_A}$, avec $N_A=6{,}02\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La loi des gaz parfaits est $pV=nRT=NkT$, avec une température exprimée en kelvins et $R=8{,}314\,\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$.

📐 Formule — À température constante, le produit $pV$ reste constant et vérifie entre deux états $p_1V_1=p_2V_2$.

📐 Formule — Dans un mélange gazeux, la pression totale est la somme des pressions partielles : $p_{tot}=\sum_i p_i$, et pour chaque espèce $\frac{p_i}{p}=\frac{n_i}{n_{tot}}$.

Compléments

📐 Formule — La quantité de matière d’un échantillon se calcule aussi par $n=\frac{m}{M}$, où M est la masse molaire.

📐 Formule — La conversion de température s’écrit $T(\mathrm K)=T(^{\circ}\mathrm C)+273{,}15$.

• Dans l’air, le dioxygène représente 20 % des molécules et le diazote 78 % ; la pression partielle du dioxygène vaut donc $p_{O_2}=0{,}2p_{atm}$.

💡 Astuce mémo

Impédances différentes → réflexion et transmission à l’interface

📊 Tableaux de synthèse

Relations entre grandeurs électriques

Écoulements en série et en parallèle