Fiche de révision : Nombres entiers et opérations

📋 Plan du Cours

1. Ensemble des entiers naturels
2. Addition posée des entiers
3. Multiplication des entiers naturels
4. Priorités des opérations
5. Entiers relatifs et soustraction
6. Produit des nombres relatifs

📖 1. Ensemble des entiers naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Giuseppe Peano — Nombres entiers positifs ou nuls, notés ℕ, avec ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}.

★ À maîtriser

• L’ensemble ℕ contient une infinité d’entiers naturels.

Compléments

📌 Un chiffre est l’un des dix symboles utilisés pour écrire les nombres, tandis qu’un nombre peut être composé de plusieurs chiffres.

💡 Astuce mémo

Une boîte infinie contenant 0, 1, 2, 3 et tous les entiers naturels.

📖 2. Addition posée des entiers

★ À maîtriser

• Pour poser une addition, on aligne les entiers en colonnes en les justifiant à droite, puis on additionne les colonnes de droite à gauche en reportant chaque retenue à la colonne suivante.

Compléments

• Dans l’addition posée présentée, le calcul de la première colonne donne 2 + 8 + 8 = 18 : on écrit 8 et on reporte 1.

• Dans l’exemple complet du cours, le résultat final de l’addition posée est 9 808 998.

💡 Astuce mémo

De droite à gauche : calculer, écrire l’unité, reporter la retenue.

📖 3. Multiplication des entiers naturels

★ À maîtriser

• Pour poser une multiplication, on effectue les produits colonne par colonne, on écrit le chiffre des unités et on reporte le chiffre restant comme retenue.

📌 Multiplier un entier par 10 revient à ajouter un zéro à droite ; multiplier par 100 ou par 1 000 revient respectivement à ajouter deux ou trois zéros à droite.

• Pour calculer 123 × 987 par distributivité, on décompose 987 en 7 + 80 + 900, on calcule les trois produits correspondants avec les zéros nécessaires, puis on additionne les résultats.

Compléments

• Pour calculer 17 × 20, on calcule 17 × 2 = 34 puis on ajoute un zéro, ce qui donne 17 × 20 = 340.

💡 Astuce mémo

Multiplier par une puissance de 10 → ajouter autant de zéros à droite.

📖 4. Priorités des opérations

★ À maîtriser

📌 Dans une expression contenant une addition et une multiplication, la multiplication est prioritaire sur l’addition.

📌 Les opérations placées entre parenthèses sont prioritaires sur celles qui ne sont pas entre parenthèses.

Compléments

• L’expression 1 + 2 × 3 + 4 × 5 se calcule en effectuant d’abord les multiplications, puis vaut 27.

💡 Astuce mémo

Parenthèses avant le reste ; multiplications avant additions et soustractions.

📖 5. Entiers relatifs et soustraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : M. Dedekind — Entiers positifs, nuls ou négatifs, notés ℤ, avec ℤ = {…, −2, −1, 0, +1, …}.

📝 Points essentiels

📌 La soustraction 4 − 7 n’est pas définie dans ℕ, car son résultat −3 est un entier négatif qui appartient à ℤ.

• Pour poser une soustraction, on soustrait colonne par colonne de droite à gauche et, lorsque le chiffre du haut est trop petit, on transforme la colonne en empruntant une unité à la colonne suivante.

💡 Astuce mémo

ℕ contient les entiers naturels ; ℤ ajoute les entiers négatifs.

📖 6. Produit des nombres relatifs

★ À maîtriser

📌 Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs valeurs numériques et on détermine le signe avec la règle des signes.

• La règle des signes donne:
  • • × + = +
  • • × − = −
  • − × + = −
  • − × − = +

Compléments

• Le produit (−6) × 2 vaut −12.

💡 Astuce mémo

Même signe → + ; signes différents → −.

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles d’entiers