Fiche de révision : Points mobiles et repère de Frenet

📋 Plan du Cours

1. Courbes paramétrées et trajectoires
2. Vitesse et tangente à la trajectoire
3. Accélération du point mobile
4. Repère de Frenet et courbure

📖 1. Courbes paramétrées et trajectoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe paramétrée : Trajectoire d’un point mobile, décrite par des équations donnant ses coordonnées en fonction du paramètre.
• Point mobile : Point dont les coordonnées dépendent d’un paramètre réel $t\in\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• Dans le plan, une courbe paramétrée est donnée par $x=x(t)$ et $y=y(t)$.

• Dans l’espace, une courbe paramétrée est donnée par $x=x(t)$, $y=y(t)$ et $z=z(t)$.

📖 2. Vitesse et tangente à la trajectoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur vitesse : Dérivée de son vecteur position : $\vec v(t)=\frac{d}{dt}\overrightarrow{OM}(t)$.

★ À maîtriser

• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point mobile et orienté dans le sens du parcours.

Compléments

• La norme du vecteur vitesse est la vitesse scalaire, notée $v(t)=\|\vec v(t)\|$.

📖 3. Accélération du point mobile

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur accélération : Dérivée du vecteur vitesse : $\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}$.

📝 Points essentiels

• Le vecteur accélération est orienté vers l’intérieur de la courbe.

📖 4. Repère de Frenet et courbure

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de Frenet : Base orthonormée directe $\left(\vec u_T,\vec u_N,\vec u_T\wedge\vec u_N\right)$, où $\vec u_T=\frac{\vec v}{v}$ et $\vec u_N$ est unitaire, orthogonal à $\vec u_T$ et appartient au plan osculateur.
• Plan osculateur : Plan engendré par les vecteurs vitesse et accélération.
• Cercle osculateur : Cercle qui approxime au mieux la courbe au point considéré, et son rayon est le rayon de courbure $\rho_F$.
• Accélération tangentielle : Composante $\vec a_T=\dot v\vec u_T$ de l’accélération selon la tangente.
• Accélération normale : Composante $\vec a_N=\frac{v^2}{\rho_F}\vec u_N$ de l’accélération selon la normale.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le repère de Frenet, la vitesse et l’accélération se décomposent selon $\vec v=v\vec u_T$ et $\vec a=\dot v\vec u_T+\frac{v^2}{\rho_F}\vec u_N$.

Compléments

• Le vecteur $\vec u_N$ pointe vers l’intérieur de la courbe.

• La dérivée du vecteur tangent unitaire $\frac{d\vec u_T}{dt}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec u_N$.

📐 Formule - La dérivée du vecteur tangent unitaire vérifie $\frac{d\vec u_T}{dt}=\frac{v}{\rho_F}\vec u_N$.