QCM : Points mobiles et repère de Frenet (8 questions)

Question 1

1. Un point mobile suit une trajectoire décrite par ses coordonnées en fonction d’un paramètre. Comment appelle-t-on cette trajectoire décrite de cette manière ?

Une courbe paramétrée

Une courbe implicite

Un point mobile

Un paramètre réel

Explication

Une courbe paramétrée est la trajectoire d’un point mobile, décrite par des équations donnant ses coordonnées en fonction du paramètre. Le point mobile désigne l’objet qui se déplace, la courbe implicite n’est pas définie ici par ce paramètre, et le paramètre est la variable dont dépendent les coordonnées.

Answer

Une courbe paramétrée

Question 2

2. Dans une simulation plane, la position d’un mobile est définie à chaque instant par deux fonctions du paramètre $t$ . Quelles coordonnées faut-il spécifier pour décrire sa courbe paramétrée ?

Une distance en fonction de

t

x=x(t)

et

y=y(t)

x=x(t)

,

y=y(t)

et

z=z(t)

x=x(t)

uniquement

Explication

Dans le plan, une courbe paramétrée est donnée par les deux coordonnées $x=x(t)$ et $y=y(t)$ . Ajouter $z(t)$ correspond à une description dans l’espace, tandis qu’une seule coordonnée ou une distance ne décrit pas les deux coordonnées du point dans le plan.

Answer

$$x=x(t)$$ et $$y=y(t)$$

Question 3

3. La position d’un mobile est représentée par le vecteur $\overrightarrow{OM}(t)$ . Quelle opération donne son vecteur vitesse à l’instant $t$ ?

Calculer

\frac{d}{dt}\vec v(t)

Calculer

\|\overrightarrow{OM}(t)\|

Calculer

\frac{d^2}{dt^2}\overrightarrow{OM}(t)

Calculer

\frac{d}{dt}\overrightarrow{OM}(t)

Explication

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au paramètre. Dériver $\vec v(t)$ donne l’accélération, prendre la norme du vecteur position donne une distance à l’origine, et la dérivée seconde de la position correspond aussi à l’accélération.

Answer

Calculer $$\frac{d}{dt}\overrightarrow{OM}(t)$$

Question 4

4. Un mobile parcourt une trajectoire courbe dans un sens déterminé. En un point régulier de son parcours, comment est orienté son vecteur vitesse ?

Selon la normale, vers l’intérieur de la courbe

Selon une direction radiale vers l’origine

Selon la tangente, dans le sens du parcours

Selon la tangente, dans le sens opposé au parcours

Explication

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré et orienté dans le sens du parcours. Une direction vers l’intérieur de la courbe caractérise l’accélération dans la propriété présentée, tandis que le sens opposé inverse le parcours et qu’une direction radiale n’est pas la tangente.

Answer

Selon la tangente, dans le sens du parcours

Question 5

5. La vitesse d’un point mobile est donnée par $\vec v(t)=(3t^2,\,4t)$ . Quelle est son accélération à l’instant $t=2$ ?

(3,\,4)

(12,\,4)

(24,\,8)

(12,\,8)

Explication

L’accélération est la dérivée du vecteur vitesse : $\vec a(t)=(6t,4)$ , donc $\vec a(2)=(12,4)$ . Le résultat $(12,8)$ vient d’une dérivation incorrecte de la seconde composante, $(3,4)$ reprend la vitesse à $t=1$ , et $(24,8)$ correspond à une multiplication par le temps.

Answer

$$(12,\,4)$$

Question 6

6. Un point mobile suit une trajectoire courbe et sa vitesse change de direction au cours du mouvement. Vers quelle région est orienté le vecteur accélération ?

Vers l’extérieur de la courbe

Dans le sens du parcours sur la courbe

Vers l’intérieur de la courbe

Le long de la tangente à la trajectoire

Explication

Le vecteur accélération est orienté vers l’intérieur de la courbe. La tangente et le sens du parcours caractérisent l’orientation du vecteur vitesse, tandis que l’extérieur inverse la direction indiquée.

Answer

Vers l’intérieur de la courbe

Question 7

7. À un point d’une trajectoire, la vitesse est non nulle et les vecteurs vitesse et accélération définissent le plan osculateur. Quelle description correspond au vecteur normal de la base de Frenet ?

Un vecteur unitaire non orthogonal au tangent et situé dans le plan osculateur

Un vecteur unitaire orthogonal au tangent et situé hors du plan osculateur

Un vecteur unitaire parallèle au tangent et situé dans le plan osculateur

Un vecteur unitaire orthogonal au tangent et situé dans le plan osculateur

Explication

Le vecteur normal de Frenet est unitaire, orthogonal au vecteur tangent et appartient au plan osculateur. Le vecteur parallèle au tangent reprend la direction tangente, le vecteur non orthogonal ne respecte pas l’orthogonalité et celui situé hors du plan ne respecte pas l’appartenance au plan osculateur.

Answer

Un vecteur unitaire orthogonal au tangent et situé dans le plan osculateur

Question 8

8. Pour un mobile, la vitesse scalaire vaut $6$ , sa dérivée temporelle vaut $2$ et le rayon de courbure vaut $3$ . Quelle expression donne son accélération dans le repère de Frenet ?

6\vec u_T+12\vec u_N

2\vec u_T+2\vec u_N

2\vec u_T

2\vec u_T+12\vec u_N

Explication

Dans le repère de Frenet, $\vec a=\dot v\vec u_T+\frac{v^2}{\rho_F}\vec u_N$ . Ici, $\dot v=2$ et $\frac{6^2}{3}=12$ ; omettre le terme normal oublie la courbure, utiliser $\frac{v}{\rho_F}$ donne un coefficient normal incorrect, et remplacer $\dot v$ par $v$ confond accélération tangentielle et vitesse.

Answer

$$2\vec u_T+12\vec u_N$$

QCM : Points mobiles et repère de Frenet (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un point mobile suit une trajectoire décrite par ses coordonnées en fonction d’un paramètre. Comment appelle-t-on cette trajectoire décrite de cette manière ?

2. Dans une simulation plane, la position d’un mobile est définie à chaque instant par deux fonctions du paramètre $t$ . Quelles coordonnées faut-il spécifier pour décrire sa courbe paramétrée ?

3. La position d’un mobile est représentée par le vecteur $\overrightarrow{OM}(t)$ . Quelle opération donne son vecteur vitesse à l’instant $t$ ?

4. Un mobile parcourt une trajectoire courbe dans un sens déterminé. En un point régulier de son parcours, comment est orienté son vecteur vitesse ?

5. La vitesse d’un point mobile est donnée par $\vec v(t)=(3t^2,\,4t)$ . Quelle est son accélération à l’instant $t=2$ ?

6. Un point mobile suit une trajectoire courbe et sa vitesse change de direction au cours du mouvement. Vers quelle région est orienté le vecteur accélération ?

7. À un point d’une trajectoire, la vitesse est non nulle et les vecteurs vitesse et accélération définissent le plan osculateur. Quelle description correspond au vecteur normal de la base de Frenet ?

8. Pour un mobile, la vitesse scalaire vaut $6$ , sa dérivée temporelle vaut $2$ et le rayon de courbure vaut $3$ . Quelle expression donne son accélération dans le repère de Frenet ?

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QCM : Points mobiles et repère de Frenet (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un point mobile suit une trajectoire décrite par ses coordonnées en fonction d’un paramètre. Comment appelle-t-on cette trajectoire décrite de cette manière ?

2. Dans une simulation plane, la position d’un mobile est définie à chaque instant par deux fonctions du paramètre ttt. Quelles coordonnées faut-il spécifier pour décrire sa courbe paramétrée ?

3. La position d’un mobile est représentée par le vecteur OM→(t)\overrightarrow{OM}(t)OM(t). Quelle opération donne son vecteur vitesse à l’instant ttt ?

4. Un mobile parcourt une trajectoire courbe dans un sens déterminé. En un point régulier de son parcours, comment est orienté son vecteur vitesse ?

5. La vitesse d’un point mobile est donnée par v⃗(t)=(3t2, 4t)\vec v(t)=(3t^2,\,4t)v(t)=(3t2,4t). Quelle est son accélération à l’instant t=2t=2t=2 ?

6. Un point mobile suit une trajectoire courbe et sa vitesse change de direction au cours du mouvement. Vers quelle région est orienté le vecteur accélération ?

7. À un point d’une trajectoire, la vitesse est non nulle et les vecteurs vitesse et accélération définissent le plan osculateur. Quelle description correspond au vecteur normal de la base de Frenet ?

8. Pour un mobile, la vitesse scalaire vaut 666, sa dérivée temporelle vaut 222 et le rayon de courbure vaut 333. Quelle expression donne son accélération dans le repère de Frenet ?

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2. Dans une simulation plane, la position d’un mobile est définie à chaque instant par deux fonctions du paramètre $t$ . Quelles coordonnées faut-il spécifier pour décrire sa courbe paramétrée ?

3. La position d’un mobile est représentée par le vecteur $\overrightarrow{OM}(t)$ . Quelle opération donne son vecteur vitesse à l’instant $t$ ?

5. La vitesse d’un point mobile est donnée par $\vec v(t)=(3t^2,\,4t)$ . Quelle est son accélération à l’instant $t=2$ ?

8. Pour un mobile, la vitesse scalaire vaut $6$ , sa dérivée temporelle vaut $2$ et le rayon de courbure vaut $3$ . Quelle expression donne son accélération dans le repère de Frenet ?