Fiche de révision : Polynôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et reconnaissance
2. Développer et factoriser
3. Racines et racines évidentes
4. Forme factorisée et racines
5. Résolution par produit nul
6. Détermination d’un polynôme
7. Prérequis de calcul

📖 1. Définition et reconnaissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et $a\ne0$.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour reconnaître un polynôme du second degré, il faut: développer l’expression, réduire les termes semblables, vérifier que le terme en x² possède un coefficient non nul

Compléments

• Dans l’écriture $f(x)=ax^2+bx+c$, a, b et c sont les coefficients du polynôme du second degré.

💡 Astuce mémo

Présence de ax² avec a ≠ 0 : second degré ; absence de x² : degré inférieur

📖 2. Développer et factoriser

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

• Pour développer une expression, on applique les identités remarquables ou la distributivité, puis on réduit les termes de même degré.

• Pour factoriser une expression, on recherche d’abord un facteur commun ou une identité remarquable, puis on écrit le produit de facteurs correspondant.

Compléments

• Les expressions $x^2-9$, $4x^2-25$ et $x^2+6x+9$ se factorisent respectivement en $(x-3)(x+3)$, $(2x-5)(2x+5)$ et $(x+3)^2$.

💡 Astuce mémo

R² : carré, différence de carrés, produit conjugué

📖 3. Racines et racines évidentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : solution, lorsqu’elle existe, de l’équation $f(x)=0$.

★ À maîtriser

• Pour chercher les racines d’un polynôme, on résout l’équation $f(x)=0$.

Compléments

• Le polynôme $f(x)=x^2-1$ possède les racines 1 et -1, car $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

• Une racine évidente se trouve en évaluant rapidement la fonction en des valeurs simples, comme 0, 1 ou -1, jusqu’à obtenir une valeur nulle.

💡 Astuce mémo

f(x)=0 → les valeurs annulant f sont les racines

📖 4. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec a, x₁ et x₂ réels et $a\ne0$.
• Racine double : Lorsque les deux racines d’un polynôme sont égales, le polynôme admet une racine double et s’écrit $f(x)=a(x-x_1)^2$.

★ À maîtriser

• Dans la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, les racines sont x₁ et x₂.

Compléments

• Pour passer de la forme factorisée à la forme développée, on développe les deux facteurs puis on regroupe les termes pour obtenir $ax^2+bx+c$.

💡 Astuce mémo

Deux parenthèses x−x₁ et x−x₂ s’annulent sur leurs deux racines

📖 5. Résolution par produit nul

📝 Points essentiels

📌 Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul, c’est-à-dire $A\times B=0\Longleftrightarrow A=0\text{ ou }B=0$.

• Pour résoudre une équation factorisée, on annule chaque facteur, puis on réunit toutes les solutions obtenues.

💡 Astuce mémo

Produit nul → premier facteur nul ou second facteur nul

📖 6. Détermination d’un polynôme

★ À maîtriser

• Si un polynôme a pour racines x₁ et x₂, il peut s’écrire $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, puis une valeur connue de f permet de déterminer a.

Compléments

• Un polynôme s’annulant en 5/6 et 3 s’écrit sous la forme $f(x)=a\left(x-\frac56\right)(x-3)$ avant la détermination de a.

• Deux polynômes du second degré ayant les mêmes racines ont la même forme factorisée à un coefficient multiplicateur près.

💡 Astuce mémo

Racines → forme factorisée → valeur connue → coefficient

📖 7. Prérequis de calcul

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les expressions utilisées pour développer et factoriser comprennent $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$ et $2x^2-8=2(x-2)(x+2)$.

• Pour résoudre une équation affine ou une inéquation, on isole x en effectuant les mêmes opérations aux deux membres, en inversant le sens de l’inégalité lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif.

• Pour la fonction affine $f(x)=2x-3$, le coefficient directeur 2 est positif, donc la fonction est croissante sur ℝ.

• Pour étudier le signe d’un produit de facteurs, on détermine le signe de chaque facteur puis on les combine dans un tableau de signes.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un polynôme du second degré