QCM : Polynôme du second degré — 15 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=5x^3-x

f(x)=4x-7

f(x)=\frac{2}{x}+1

f(x)=3x^2-5x+1

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , ce qui est le cas de $3x^2-5x+1$ . Une fonction affine ne possède pas de terme en $x^2$ et n’est donc pas du second degré.

Answer

$$f(x)=3x^2-5x+1$$

Question 2

2. Pour déterminer si l’expression $2(x+1)^2-2x^2+3$ représente un polynôme du second degré, quelle méthode faut-il appliquer ?

La développer, la réduire, puis vérifier le coefficient de

x^2

Identifier le nombre de facteurs avant toute transformation

La factoriser, puis vérifier la valeur de la constante

Calculer son image en

x=1

, puis comparer le résultat à zéro

Explication

Il faut développer et réduire l’expression afin d’obtenir sa forme polynomiale, puis vérifier que le coefficient de $x^2$ est non nul. Calculer une seule image ou observer les facteurs ne permet pas de conclure sur le degré.

Answer

La développer, la réduire, puis vérifier le coefficient de $$x^2$$

Question 3

3. Quelle égalité correspond au carré d’une différence ?

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-b^2

(a-b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2a+b^2

Explication

Le carré d’une différence contient le terme central $-2ab$ , d’où $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Le signe positif devant $2ab$ correspond au carré d’une somme.

Answer

$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

Question 4

4. Quelle transformation obtient-on en développant une expression ?

Une somme obtenue par distributivité ou identité remarquable

Un produit de facteurs obtenu après recherche d’un facteur commun

Une équation obtenue en égalant l’expression à zéro

Une valeur numérique obtenue en remplaçant la variable

Explication

Développer transforme une forme factorisée ou remarquable en somme, en utilisant la distributivité ou une identité remarquable, puis en réduisant les termes de même degré. La recherche d’un produit de facteurs correspond à la factorisation.

Answer

Une somme obtenue par distributivité ou identité remarquable

Question 5

5. Pour factoriser l’expression $6x^2+9x$ , quelle démarche est la plus adaptée ?

Développer chaque terme séparément, puis supprimer les parenthèses

Résoudre l’équation associée avant de regrouper les facteurs

Appliquer le carré d’une somme avec le terme central

6x

Rechercher le facteur commun

3x

, puis écrire un produit

Explication

La factorisation commence par la recherche d’un facteur commun ; ici, $3x$ permet d’écrire l’expression sous forme d’un produit. Résoudre une équation ou développer ne constitue pas la démarche demandée.

Answer

Rechercher le facteur commun $$3x$$, puis écrire un produit

Question 6

6. Comment définir une racine d’un polynôme du second degré ?

L’image obtenue lorsque la variable prend la valeur

1

Une valeur de

x

qui rend

f(x)

maximal

Le coefficient du terme en

x^2

dans l’expression développée

Une valeur de

x

qui vérifie l’équation

f(x)=0

Explication

Une racine est une solution de l’équation $f(x)=0$ ; elle annule donc le polynôme. Un coefficient décrit l’expression algébrique, tandis qu’une image correspond à une valeur de la fonction pour un nombre donné.

Answer

Une valeur de $$x$$ qui vérifie l’équation $$f(x)=0$$

Question 7

7. Pour rechercher les racines de $f(x)=x^2-1$ , quelle action faut-il effectuer ?

Identifier le coefficient de

x^2

dans l’expression

Résoudre l’équation

x^2-1=0

Calculer

f(x)

pour une valeur fixée de

x

Comparer les valeurs de

f(0)

et de

f(1)

Explication

Chercher les racines revient à résoudre l’équation $f(x)=0$ ; ici, il faut donc résoudre $x^2-1=0$ . Calculer une image pour une valeur donnée de $x$ répond à une autre question.

Answer

Résoudre l’équation $$x^2-1=0$$

Question 8

8. Quelle expression représente la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

f(x)=a(x-x_1)^2(x-x_2)

avec

a\ne0

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

avec

a\ne0

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

avec

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\ne0

Explication

La forme factorisée s’écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , où $a$ est non nul. L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée et met en évidence les coefficients plutôt que les racines.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$ avec $$a\ne0$$

Question 9

9. Quelles sont les racines du polynôme $f(x)=3(x-2)(x+5)$ ?

2

et

-5

-2

et

5

2

et

5

3

et

-5

Explication

Les facteurs s’annulent pour $x=2$ et $x=-5$ , qui sont donc les deux racines. Les signes des constantes dans les facteurs doivent être changés pour trouver les valeurs annulant chaque facteur.

Answer

$$2$$ et $$-5$$

Question 10

10. Quelle propriété permet de résoudre l’équation $(2x-6)(x+4)=0$ ?

Un produit est nul lorsque ses facteurs ont la même valeur.

Un produit est nul lorsque la somme de ses facteurs vaut zéro.

Un produit est nul lorsqu’au moins un de ses facteurs est nul.

Un produit est nul lorsque ses deux facteurs sont positifs.

Explication

La règle du produit nul affirme que $A\times B=0$ si et seulement si $A=0$ ou $B=0$ . Il suffit donc d’annuler l’un des deux facteurs, sans exiger qu’ils le soient tous les deux.

Answer

Un produit est nul lorsqu’au moins un de ses facteurs est nul.

Question 11

11. Quelles sont les solutions de l’équation $(x-7)(3x+6)=0$ ?

-7

et

-2

7

et

-2

-7

et

2

7

et

2

Explication

En annulant les facteurs, on obtient $x-7=0$ , donc $x=7$ , ou $3x+6=0$ , donc $x=-2$ . Résoudre une équation factorisée consiste à réunir les solutions issues de chaque facteur nul.

Answer

$$7$$ et $$-2$$

Question 12

12. Comment déterminer le coefficient $a$ d’un polynôme dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ lorsqu’une valeur de la fonction est connue ?

Écrire

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

puis comparer les racines.

Écrire

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

puis utiliser la valeur connue de

f

.

Poser

a=1

puis développer l’expression obtenue.

Utiliser les racines pour calculer directement le terme constant.

Explication

Les racines imposent les facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$ , tandis qu’une valeur connue de $f$ permet de calculer $a$ . Poser arbitrairement $a=1$ ne garantit pas que le polynôme respecte la valeur donnée.

Answer

Écrire $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$ puis utiliser la valeur connue de $$f$$.

Question 13

13. Deux polynômes du second degré ont les mêmes racines, mais leurs coefficients multiplicateurs sont différents. Quelle relation existe-t-il entre eux ?

Ils possèdent des racines différentes après développement.

Ils ont des termes constants nécessairement opposés.

Ils ont la même forme factorisée à un coefficient multiplicateur près.

Ils sont nécessairement identiques sous leur forme développée.

Explication

Des racines identiques imposent les mêmes facteurs, de sorte que les deux expressions ne diffèrent que par leur coefficient multiplicateur. Elles ne représentent donc pas forcément le même polynôme, puisque leurs valeurs peuvent varier selon ce coefficient.

Answer

Ils ont la même forme factorisée à un coefficient multiplicateur près.

Question 14

14. Comment factorise-t-on correctement l’expression $2x^2-8$ ?

(2x-8)(x+1)

2(x^2-4)

(x-2)(x+2)

2(x-2)(x+2)

Explication

On met d’abord le facteur commun 2 en évidence, puis on reconnaît une différence de carrés, ce qui donne la factorisation complète. L’écriture $2(x^2-4)$ est une étape intermédiaire correcte, mais elle n’est pas entièrement factorisée.

Answer

$$2(x-2)(x+2)$$

Question 15

15. Quelle règle faut-il appliquer lorsqu’on divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif ?

Ajouter le nombre aux deux membres

Remplacer l’inégalité par une égalité

Inverser le sens de l’inégalité

Conserver le sens de l’inégalité

Explication

La division ou la multiplication des deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité, tout en conservant l’équivalence. Conserver le sens conviendrait dans le cas d’un nombre positif, pas dans celui d’un nombre négatif.

Answer

Inverser le sens de l’inégalité

QCM : Polynôme du second degré — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

2. Pour déterminer si l’expression $2(x+1)^2-2x^2+3$ représente un polynôme du second degré, quelle méthode faut-il appliquer ?

3. Quelle égalité correspond au carré d’une différence ?

4. Quelle transformation obtient-on en développant une expression ?

5. Pour factoriser l’expression $6x^2+9x$ , quelle démarche est la plus adaptée ?

6. Comment définir une racine d’un polynôme du second degré ?

7. Pour rechercher les racines de $f(x)=x^2-1$ , quelle action faut-il effectuer ?

8. Quelle expression représente la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

9. Quelles sont les racines du polynôme $f(x)=3(x-2)(x+5)$ ?

10. Quelle propriété permet de résoudre l’équation $(2x-6)(x+4)=0$ ?

11. Quelles sont les solutions de l’équation $(x-7)(3x+6)=0$ ?

12. Comment déterminer le coefficient $a$ d’un polynôme dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ lorsqu’une valeur de la fonction est connue ?

13. Deux polynômes du second degré ont les mêmes racines, mais leurs coefficients multiplicateurs sont différents. Quelle relation existe-t-il entre eux ?

14. Comment factorise-t-on correctement l’expression $2x^2-8$ ?

15. Quelle règle faut-il appliquer lorsqu’on divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif ?

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QCM : Polynôme du second degré — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

2. Pour déterminer si l’expression 2(x+1)2−2x2+32(x+1)^2-2x^2+32(x+1)2−2x2+3 représente un polynôme du second degré, quelle méthode faut-il appliquer ?

3. Quelle égalité correspond au carré d’une différence ?

4. Quelle transformation obtient-on en développant une expression ?

5. Pour factoriser l’expression 6x2+9x6x^2+9x6x2+9x, quelle démarche est la plus adaptée ?

6. Comment définir une racine d’un polynôme du second degré ?

7. Pour rechercher les racines de f(x)=x2−1f(x)=x^2-1f(x)=x2−1, quelle action faut-il effectuer ?

8. Quelle expression représente la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

9. Quelles sont les racines du polynôme f(x)=3(x−2)(x+5)f(x)=3(x-2)(x+5)f(x)=3(x−2)(x+5) ?

10. Quelle propriété permet de résoudre l’équation (2x−6)(x+4)=0 (2x-6)(x+4)=0 (2x−6)(x+4)=0 ?

11. Quelles sont les solutions de l’équation (x−7)(3x+6)=0 (x-7)(3x+6)=0 (x−7)(3x+6)=0 ?

12. Comment déterminer le coefficient aaa d’un polynôme dont les racines sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​ lorsqu’une valeur de la fonction est connue ?

13. Deux polynômes du second degré ont les mêmes racines, mais leurs coefficients multiplicateurs sont différents. Quelle relation existe-t-il entre eux ?

14. Comment factorise-t-on correctement l’expression 2x2−82x^2-82x2−8 ?

15. Quelle règle faut-il appliquer lorsqu’on divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif ?

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2. Pour déterminer si l’expression $2(x+1)^2-2x^2+3$ représente un polynôme du second degré, quelle méthode faut-il appliquer ?

5. Pour factoriser l’expression $6x^2+9x$ , quelle démarche est la plus adaptée ?

7. Pour rechercher les racines de $f(x)=x^2-1$ , quelle action faut-il effectuer ?

8. Quelle expression représente la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

9. Quelles sont les racines du polynôme $f(x)=3(x-2)(x+5)$ ?

10. Quelle propriété permet de résoudre l’équation $(2x-6)(x+4)=0$ ?

11. Quelles sont les solutions de l’équation $(x-7)(3x+6)=0$ ?

12. Comment déterminer le coefficient $a$ d’un polynôme dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ lorsqu’une valeur de la fonction est connue ?

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