Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Développement et identités remarquables
2. Formes du polynôme
3. Forme canonique et variations
4. Discriminant, racines et factorisation
5. Signes, inéquations et intervalles

📖 1. Développement et identités remarquables

📝 Points essentiels

• Développer une expression consiste à supprimer les parenthèses en distribuant les facteurs, puis à réduire en regroupant les termes de même degré.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$-i.

📖 2. Formes du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Expression de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, $a$ est le coefficient de $x^2$, $b$ celui de $x$ et $c$ le terme constant.

📌 Les trois formes d’un polynôme du second degré sont la forme développée $ax^2+bx+c$, la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ et la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Développée pour lire a, b, c ; canonique pour le sommet ; factorisée pour les racines et les signes.

📖 3. Forme canonique et variations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée est $\beta=f(\alpha)$.

• Le sommet de la parabole représentative de $f$ est le point $S(\alpha;\beta)$.

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas.

💡 Astuce mémo

Le signe de a → l’orientation de la parabole → les variations.

📖 4. Discriminant, racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Solution de l’équation $f(x)=0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant du polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, le polynôme possède deux racines réelles ; si $\Delta=0$, il possède une racine double ; si $\Delta<0$, il ne possède aucune racine réelle.

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, les deux racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Lorsque $\Delta=0$, l’unique racine double est $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta>0$, la factorisation est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$, elle est $f(x)=a(x-x_0)^2$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → déterminer les racines → factoriser.

📖 5. Signes, inéquations et intervalles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Lorsque les racines existent, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

• Pour construire le tableau de signes d’un polynôme factorisé, on place les racines dans l’ordre, on indique les zéros aux racines et on détermine les signes selon la valeur de $a$.

📌 Si $a>0$, le polynôme est positif à l’extérieur des deux racines et négatif entre elles.

• Pour résoudre une inéquation du type $f(x)>0$, $f(x)\geq0$, $f(x)<0$ ou $f(x)\leq0$, on utilise le tableau de signes puis on retient les intervalles correspondant à l’inégalité.

📌 Les bornes sont incluses avec $\geq$ ou $\leq$ et exclues avec $>$ ou $<$ ; les intervalles associés à $-\infty$ et $+\infty$ ont toujours des crochets ouverts.

• La méthode complète consiste à repérer $a$, $b$ et $c$, calculer $\Delta$, trouver les racines, factoriser, construire le tableau de signes, résoudre l’inéquation et écrire la solution sous forme d’intervalle.

💡 Astuce mémo

Placer les racines → établir les signes → choisir les intervalles selon l’inégalité.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant

Formes du polynôme