QCM : Polynômes du second degré — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle démarche permet de développer correctement une expression algébrique comportant des parenthèses ?

Calculer les constantes, puis remplacer les variables par zéro
Regrouper les parenthèses, puis supprimer les termes de degré impair
Factoriser les termes, puis classer les facteurs par ordre croissant
Distribuer les facteurs, puis regrouper les termes de même degré

Distribuer les facteurs, puis regrouper les termes de même degré

Explication

Développer consiste à distribuer les facteurs afin de supprimer les parenthèses, puis à réduire l’expression en regroupant les termes de même degré. La factorisation correspond à une transformation inverse et ne décrit pas cette procédure.

2. Quelle expression correspond au développement de (a−b)2(a-b)^2 ?

a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2
a2−ab+b2a^2-ab+b^2
a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2
a2−b2a^2-b^2

$$a^2-2ab+b^2$$

Explication

Le carré d’une différence suit l’identité (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2, avec un terme médian négatif. Le terme +2ab+2ab appartient au carré d’une somme, tandis que a2−b2a^2-b^2 correspond à un produit de conjugués.

3. Laquelle de ces expressions est un polynôme du second degré ?

4x2−3x4x^2-3x
4x−3+7x−14x-3+7x^{-1}
4x2−3x+74x^2-3x+7
4x3−3x+74x^3-3x+7

$$4x^2-3x+7$$

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\ne0 ; ici, le coefficient de x2x^2 vaut 44. Une expression de degré trois ou une expression contenant une puissance négative ne répond pas à cette définition, tandis que l’absence de terme constant n’empêche pas le degré d’être deux.

4. Dans f(x)=−5x2+8x−3f(x)=-5x^2+8x-3, quelles sont les valeurs de aa, bb et cc ?

a=−5a=-5, b=−3b=-3 et c=8c=8
a=−5a=-5, b=8b=8 et c=−3c=-3
a=8a=8, b=−5b=-5 et c=−3c=-3
a=−3a=-3, b=8b=8 et c=−5c=-5

$$a=-5$$, $$b=8$$ et $$c=-3$$

Explication

Dans la forme développée ax2+bx+cax^2+bx+c, aa accompagne x2x^2, bb accompagne xx et cc est le terme constant. Les autres associations confondent le coefficient quadratique, le coefficient linéaire et la constante.

5. Quelle association présente les trois formes usuelles d’un polynôme du second degré ?

Forme développée, forme canonique et forme factorisée
Forme linéaire, forme rationnelle et forme réduite
Forme canonique, forme inverse et forme affine
Forme factorisée, forme cubique et forme développée

Forme développée, forme canonique et forme factorisée

Explication

Les trois formes usuelles sont ax2+bx+cax^2+bx+c, a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta et a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2). Les formes linéaire, inverse ou cubique ne constituent pas les trois formes de référence d’un polynôme du second degré.

6. Pour f(x)=2x2−12x+5f(x)=2x^2-12x+5, quelles sont les coordonnées du sommet ?

S(3;13)S(3;13)
S(−3;13)S(-3;13)
S(−3;−13)S(-3;-13)
S(3;−13)S(3;-13)

$$S(3;-13)$$

Explication

L’abscisse du sommet vaut α=−b2a=−−122×2=3\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\times2}=3, puis β=f(3)=−13\beta=f(3)=-13. Le signe de α\alpha et le calcul de l’ordonnée doivent être distingués : α\alpha n’est pas l’ordonnée du sommet.

7. Si α=−2\alpha=-2 et β=5\beta=5 pour une fonction du second degré, comment s’écrit le sommet de sa parabole ?

S(−2;0)S(-2;0)
S(0;5)S(0;5)
S(5;−2)S(5;-2)
S(−2;5)S(-2;5)

$$S(-2;5)$$

Explication

Le sommet est le point S(α;β)S(\alpha;\beta), donc les valeurs données conduisent à S(−2;5)S(-2;5). La valeur α\alpha seule représente l’abscisse, tandis que β\beta représente l’ordonnée.

8. Dans quel sens est tournée la parabole représentative de f(x)=−3x2+4x+1f(x)=-3x^2+4x+1 ?

Vers le bas, car le coefficient de x2x^2 est négatif
Vers le bas, car le terme constant est positif
Vers le haut, car le coefficient de x2x^2 est négatif
Vers le haut, car le coefficient de xx est positif

Vers le bas, car le coefficient de $$x^2$$ est négatif

Explication

Le coefficient dominant vaut a=−3<0a=-3<0, donc la parabole est tournée vers le bas. Le terme constant et le coefficient de xx n’indiquent pas le sens d’ouverture de la parabole.

9. Pour le polynôme f(x)=3x2−5x+2f(x)=3x^2-5x+2, quelle expression permet de calculer son discriminant ?

Δ=(−5)2−4×3×2\Delta=(-5)^2-4\times3\times2
Δ=52−4×(−3)×2\Delta=5^2-4\times(-3)\times2
Δ=32−4×(−5)×2\Delta=3^2-4\times(-5)\times2
Δ=(−5)2+4×3×2\Delta=(-5)^2+4\times3\times2

$$\Delta=(-5)^2-4\times3\times2$$

Explication

Le discriminant d’un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c se calcule avec Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, donc ici Δ=(−5)2−4×3×2\Delta=(-5)^2-4\times3\times2. L’expression comportant une addition entre les deux termes applique une formule incorrecte.

10. Pour un trinôme dont le discriminant vaut Δ=0\Delta=0, quelle est sa structure de racines réelles ?

Il possède une racine double.
Il possède une racine réelle et une racine complexe.
Il possède deux racines réelles distinctes.
Il ne possède aucune racine réelle.

Il possède une racine double.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, les deux racines coïncident et forment une racine double. L’absence de racine réelle correspond au cas Δ<0\Delta<0, tandis que deux racines distinctes correspondent à Δ>0\Delta>0.

11. Pour f(x)=x2−3x+1f(x)=x^2-3x+1, quelle expression donne la racine la plus grande ?

−3−52\frac{-3-\sqrt{5}}{2}
3−52\frac{3-\sqrt{5}}{2}
−3+52\frac{-3+\sqrt{5}}{2}
3+52\frac{3+\sqrt{5}}{2}

$$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

Explication

Ici, a=1a=1, b=−3b=-3 et Δ=5\Delta=5 ; la racine la plus grande est donc x2=−b+Δ2a=3+52x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}. Le signe moins devant la racine carrée donnerait l’autre racine réelle.

12. Si un polynôme s’écrit f(x)=2(x−1)(x+4)f(x)=2(x-1)(x+4), quelle est sa factorisation déjà développée sous la forme liée à ses racines ?

2(x+1)(x−4)2(x+1)(x-4)
2(x+1)(x+4)2(x+1)(x+4)
2(x−1)(x+4)2(x-1)(x+4)
2(x−1)2(x+4)22(x-1)^2(x+4)^2

$$2(x-1)(x+4)$$

Explication

Deux racines distinctes donnent une factorisation de la forme f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) ; ici les racines sont 11 et −4-4. Les signes dans les facteurs doivent être opposés aux valeurs des racines.

13. Un trinôme possède deux racines dont la somme vaut −ba-\frac{b}{a} et le produit vaut ca\frac{c}{a}. Quelle relation est correcte ?

La somme dépend de c/ac/a et le produit de −b/a-b/a.
La somme dépend de b/ab/a et le produit de −c/a-c/a.
La somme et le produit dépendent tous deux de −b/a-b/a.
La somme dépend de −b/a-b/a et le produit de c/ac/a.

La somme dépend de $$-b/a$$ et le produit de $$c/a$$.

Explication

Les relations de Viète donnent x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a} et x1x2=cax_1x_2=\frac{c}{a}. Intervertir ces deux expressions constitue la confusion classique entre somme et produit des racines.

14. Pour un polynôme du second degré ayant deux racines réelles et un coefficient dominant a>0a>0, où le polynôme est-il négatif ?

Aux deux racines et à l’extérieur.
Dans les intervalles contenant les deux racines.
Entre les deux racines.
À l’extérieur des deux racines.

Entre les deux racines.

Explication

Lorsque a>0a>0, le polynôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Les racines elles-mêmes donnent des valeurs nulles, et non négatives strictes.

15. Pour résoudre f(x)≥0f(x)\geq0, quelle démarche faut-il appliquer ?

Choisir les intervalles extérieurs sans examiner les signes obtenus.
Retenir les intervalles où le polynôme est strictement négatif.
Lire dans le tableau de signes les intervalles où le polynôme est positif ou nul.
Développer le polynôme puis comparer directement chaque coefficient à zéro.

Lire dans le tableau de signes les intervalles où le polynôme est positif ou nul.

Explication

La résolution consiste à utiliser le tableau de signes et à retenir les zones où f(x)f(x) est positif ou nul. Les racines sont alors conservées puisque l’inégalité contient le symbole ≥\geq.

16. Quelle écriture respecte les règles d’inclusion des bornes pour une solution allant de −∞-\infty à une racine incluse rr ?

]−∞ ; r[ ]-\infty\,;\,r[\,
]−∞ ; r]]-\infty\,;\,r]
[−∞ ; r][-\infty\,;\,r]
[−∞ ; r[[-\infty\,;\,r[

$$]-\infty\,;\,r]$$

Explication

La borne rr est incluse, donc elle reçoit un crochet fermé, tandis que −∞-\infty reçoit toujours un crochet ouvert. Les écritures comportant un crochet fermé à l’infini ne respectent pas la notation des intervalles.

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Qu'est-ce que développer une expression en algèbre ?

Supprimer les parenthèses en distribuant les facteurs puis réduire en regroupant les termes de même degré.

Quelle est la formule de l'identité remarquable pour (a+b)2(a+b)^2 ?

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Quelle est la formule de l'identité remarquable pour (a−b)2(a-b)^2 ?

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

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