$$d(x,y)=\|x-y\|$$
Explication
La distance associée à une norme mesure la norme du vecteur différence entre les deux points. La somme des normes individuelles ne tient pas compte directement de leur écart vectoriel.
Oui, car la distance vaut 1 lorsque les points sont distincts
Explication
La distance discrète vaut 1 dès que les deux points sont différents, sans dépendre d’une représentation particulière. La valeur 0 est réservée aux points égaux.
$$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$$
Explication
La propriété triangulaire borne la distance directe par la somme de deux distances passant par un point intermédiaire. L’égalité n’est pas exigée, et les autres inégalités ne correspondent pas à l’axiome métrique.
Une distance définie sur cet ensemble
Explication
Un espace métrique est précisément un ensemble muni d’une distance. Une norme ou une structure algébrique peut fournir une distance, mais n’est pas requise par la définition.
Une distance définie sur $$A$$
Explication
La restriction conserve les valeurs de lorsque ses deux arguments appartiennent à et constitue une distance sur . Elle ne change pas le domaine en une relation entre et son complémentaire.
La racine carrée de la somme des carrés des distances coordonnées
Explication
La distance combine les distances coordonnées selon une somme quadratique suivie d’une racine carrée. La somme simple correspond à , tandis que le maximum correspond à .
$$\omega_\infty\le\omega_2\le\omega_1\le m\omega_\infty$$
Explication
Le maximum est inférieur ou égal à la norme quadratique, elle-même inférieure ou égale à la somme, qui est bornée par . Les autres chaînes inversent au moins une de ces comparaisons.
Non, car la condition requiert une distance strictement inférieure à $$r$$
Explication
La boule ouverte contient les points vérifiant , donc ceux situés sur la sphère de rayon en sont exclus. Le centre est au contraire inclus lorsque le rayon est positif.
$$d(x,a)\le r$$
Explication
La boule fermée autorise les points dont la distance au centre est égale au rayon, d’où la condition . La condition d’égalité décrit la sphère, tandis que l’inégalité stricte décrit la boule ouverte.
$$\delta(A)=\sup_{x,y\in A}d(x,y)$$
Explication
Le diamètre est la borne supérieure de toutes les distances entre deux points de . Une borne inférieure mesurerait plutôt le rapprochement minimal, et une distance à un centre ne caractérise pas directement l’étendue de la partie.
$$d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)$$
Explication
La distance d’un point à une partie est la borne inférieure des distances entre ce point et les éléments de la partie. La borne supérieure décrit plutôt l’éloignement maximal, tandis qu’une somme n’est pas la définition métrique recherchée.
Pour tout $$\vartheta>0$$, il existe $$N$$ tel que $$d\left(x_n,\varepsilon\right)<\vartheta$$ pour tout $$n\geq N$$.
Explication
La convergence signifie que, pour chaque rayon positif, tous les termes d’indice assez grand sont dans la boule correspondante autour de . La présence d’un rayon fixe ou le contrôle d’un seul terme ne garantit pas cette proximité finale.
Les deux limites sont nécessairement égales, donc $$\varepsilon=\eta$$.
Explication
Dans un espace métrique, une suite convergente possède une limite unique. La présence de sous-suites, la bornitude ou la compacité ne permet pas de créer deux limites distinctes pour une même suite convergente.
On vérifie la convergence de chaque suite coordonnée vers la coordonnée correspondante.
Explication
La convergence dans un produit métrique fini équivaut à la convergence de chacune des suites coordonnées vers la coordonnée correspondante. La distance entre termes successifs ou l’existence de sous-suites ne suffit pas à établir cette convergence.
La suite $$\left(x_{\varphi(k)}\right)$$, où $$\varphi:\mathbb N\to\mathbb N$$ est strictement croissante.
Explication
Une sous-suite est obtenue en sélectionnant les termes selon une application d’indices strictement croissante, ce qui conserve leur ordre. Une réindexation arbitraire ou un réarrangement décroissant ne respecte pas cette définition.
Il existe une sous-suite de $$\left(x_n\right)$$ qui converge vers $$\varepsilon$$.
Explication
Une valeur d’adhérence est définie par l’existence d’une sous-suite convergeant vers le point considéré. La proximité finale de tous les termes caractérise plutôt la convergence de la suite entière.
Toute boule ouverte de centre $$\varepsilon$$ et de rayon positif contient une infinité de termes de la suite.
Explication
Chaque voisinage ouvert de rayon positif autour d’une valeur d’adhérence contient une infinité de termes de la suite. La convergence, en revanche, impose que tous les termes soient finalement dans ce voisinage.
Elle converge encore vers $$\varepsilon$$.
Explication
Toute sous-suite d’une suite convergente possède la même limite que la suite initiale. Les indices n’ont pas besoin d’être consécutifs, car leur croissance suffit à préserver la proximité finale avec .
Pour tout $$\vartheta>0$$, il existe $$N$$ tel que $$d\left(x_p,x_q\right)<\vartheta$$ pour tous $$p,q\geq N$$.
Explication
Une suite de Cauchy rend arbitrairement proches deux termes quelconques dès que leurs indices sont suffisamment grands. La comparaison avec un point fixé décrit la convergence, tandis que la proximité de termes successifs est une condition plus faible.
Toute suite convergente est de Cauchy.
Explication
La convergence vers une limite permet de rendre deux termes éloignés suffisamment proches l’un de l’autre, donc toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque demande une hypothèse supplémentaire de complétude de l’espace.
La suite converge vers $$\varepsilon$$.
Explication
Pour une suite de Cauchy, l’existence d’une valeur d’adhérence suffit à faire converger la suite entière vers cette valeur. Une simple sous-suite convergente ne garantit pas ce résultat pour une suite quelconque, mais la propriété de Cauchy impose la proximité de tous les termes tardifs.
Chaque point de la partie possède une boule ouverte contenue dans cette partie
Explication
Une partie est ouverte lorsque chacun de ses points est le centre d’une boule ouverte entièrement incluse dans la partie. La présence d’une seule boule autour d’un point ne suffit pas à caractériser l’ouverture de toute la partie.
Une boule ouverte
Explication
Toute boule ouverte est ouverte dans un espace métrique, comme le sont aussi l’ensemble vide et l’espace tout entier. Une boule fermée ou une sphère possède plutôt une propriété générale de fermeture.
Une réunion quelconque et une intersection finie d’ouverts
Explication
Les ouverts sont stables par réunions quelconques et par intersections finies. Une intersection infinie d’ouverts peut ne pas être ouverte, ce qui distingue les deux opérations.
Une famille contenant $$\varnothing$$ et $$E$$, stable par réunions quelconques et intersections finies
Explication
Une topologie contient l’ensemble vide et l’ensemble total, puis respecte les réunions quelconques et les intersections finies. La stabilité par intersections quelconques n’est pas exigée dans la définition.
Oui, car ces propriétés sont précisément les axiomes d’une topologie
Explication
La présence de et de , ainsi que la stabilité par réunions quelconques et intersections finies, définit une topologie. L’appartenance de tous les singletons ou de toutes les parties n’est pas requise.
Les axiomes d’ouverture garantissent les réunions quelconques, mais seulement les intersections finies
Explication
La structure des ouverts impose la stabilité par toute réunion, tandis qu’elle garantit l’ouverture des intersections dans le cas fini. Une intersection infinie doit donc être examinée séparément.
Son complémentaire est un ouvert
Explication
Par définition, une partie est fermée lorsque son complémentaire est ouvert. La propriété de contenir des boules autour de ses points caractérise plutôt les parties ouvertes.
Toute intersection de fermés et toute réunion finie de fermés
Explication
Les fermés sont stables par intersections quelconques et par réunions finies. La réunion d’une famille infinie de fermés n’est pas nécessairement fermée.
Elle doit contenir un ouvert auquel appartient le point $$a$$
Explication
Un voisinage de est une partie qui contient un ouvert auquel appartient. Le voisinage n’a pas besoin d’être ouvert lui-même.
Oui, car cette boule fournit un ouvert contenu dans $$V$$ et contenant $$a$$
Explication
Une boule ouverte de centre et de rayon strictement positif est un ouvert contenant ; son inclusion dans fait donc de un voisinage de . La partie elle-même peut être plus grande et ne pas être ouverte.
Une partie est ouverte si et seulement si elle est un voisinage de chacun de ses points
Explication
L’ouverture signifie que chaque point de la partie possède une boule ouverte incluse dans celle-ci, ce qui revient à dire que la partie est un voisinage de chacun de ses points. Être voisinage d’un seul point ne suffit pas.
Pour tout voisinage $$V$$ de $$\varepsilon$$, il existe $$N$$ tel que $$x_n\in V$$ pour tout $$n\geq N$$
Explication
La convergence vers exige que tout voisinage de ce point contienne tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. La suite n’a pas besoin d’atteindre exactement ni de rester dans un seul voisinage fixé.
L’ensemble des points dont $$A$$ est un voisinage
Explication
L’intérieur regroupe les points pour lesquels la partie constitue un voisinage. La condition selon laquelle toute boule rencontre caractérise plutôt l’adhérence.
Il existe un rayon $$r>0$$ tel que $$B(a,r)\subseteq A$$
Explication
L’appartenance à l’intérieur signifie qu’une boule ouverte de centre est entièrement contenue dans . La rencontre de chaque boule, une suite convergente ou une distance nulle décrit l’adhérence.
C’est le plus grand ouvert contenu dans $$A$$
Explication
L’intérieur est la réunion de tous les ouverts inclus dans et constitue donc le plus grand ouvert contenu dans cette partie. Le plus petit fermé contenant correspond à son adhérence.
L’ensemble des points dont tout voisinage rencontre $$A$$
Explication
L’adhérence rassemble les points dont chaque voisinage rencontre . La présence d’une boule contenue dans relève de l’intérieur, et non de l’adhérence.
Elle est le plus petit fermé contenant $$A$$
Explication
L’adhérence est l’intersection de tous les fermés contenant , donc le plus petit fermé qui contient cette partie. Le plus grand ouvert contenu dans désigne son intérieur.
Une suite de points de $$A$$ converge vers $$x$$
Explication
Un point est adhérent à exactement lorsqu’une suite d’éléments de converge vers lui. Une distance positive empêcherait cette convergence, tandis que les autres conditions ne caractérisent pas l’adhérence.
Toute suite d’éléments de $$A$$ convergeant dans $$E$$ a sa limite dans $$A$$
Explication
Une partie est fermée lorsque ses suites convergentes ne sortent pas de la partie : toute limite dans reste dans . La convergence vers un élément fixe n’est pas exigée, et les autres propriétés ne définissent pas la fermeture.
$$\operatorname{fr}(A)=\operatorname{adh}(A)\setminus\operatorname{int}(A)$$
Explication
La frontière regroupe les points de l’adhérence qui ne sont pas des points intérieurs, d’où la différence entre adhérence et intérieur. Leur intersection décrit plutôt les points intérieurs, pas la frontière.
Elles sont identiques
Explication
Une partie et son complémentaire possèdent la même frontière. En revanche, leurs intérieurs peuvent différer, ce qui ne rend pas leurs frontières disjointes.
Lorsque $$\operatorname{adh}(A)=E$$
Explication
La densité signifie que l’adhérence de coïncide avec tout l’espace . Avoir un intérieur égal à est une condition bien plus forte, qui correspond à une partie égale à l’espace.
Toute boule ouverte de rayon positif rencontre $$A$$
Explication
Une partie est dense lorsque chaque boule ouverte de rayon strictement positif rencontre cette partie, ce qui revient à dire que tout point de l’espace est limite d’une suite de points de . Une boule disjointe signalerait au contraire un point extérieur à l’adhérence.
Tout voisinage du point rencontre $$A$$ en un point distinct de celui-ci
Explication
Un point d’accumulation est approché par des points de différents de lui-même dans chacun de ses voisinages. La présence du point lui-même dans un voisinage ne suffit donc pas à caractériser cette notion.
Un point isolé de $$A$$
Explication
Un point adhérent qui ne possède pas d’autres points de arbitrairement proches est appelé point isolé. Un point frontière, en revanche, est défini par la rencontre de la partie et de son complémentaire dans tout voisinage.
Il existe $$r>0$$ tel que $$B(a,r)\cap A=\{a\}$$
Explication
L’isolement signifie qu’une boule de rayon strictement positif autour de ne contient, parmi les points de , que lui-même. Une boule entièrement incluse dans décrit plutôt une condition d’intériorité.
Elle contient tous ses points d’accumulation
Explication
Une partie est fermée si et seulement si elle contient tous ses points d’accumulation. La présence de points isolés ou de voisinages intérieurs ne suffit pas à assurer la fermeture.
Il existe un ouvert $$O$$ de $$E$$ tel que $$B=O\cap A$$
Explication
Les ouverts de la topologie relative sont précisément les intersections de la partie ambiante avec des ouverts de . Une représentation par intersection avec un fermé décrit la fermeture relative, pas l’ouverture.
Il existe un fermé $$F$$ de $$E$$ tel que $$B=F\cap A$$
Explication
Une partie est fermée relativement à lorsqu’elle s’écrit comme l’intersection de avec un fermé de l’espace ambiant . La représentation par un ouvert correspond à la notion d’ouverture relative.
En intersectant $$A$$ avec l’adhérence de $$B$$ dans $$E$$
Explication
L’adhérence relative de est donnée par , car elle conserve les points d’adhérence ambiants qui appartiennent à . Cette formule ne doit pas être remplacée par une formule portant sur l’intérieur.
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Quelles conditions doit satisfaire une distance sur un ensemble E ?
d(x,y)=0 si et seulement si x=y, d(x,y)=d(y,x), et d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).
Qu'est-ce qu'un espace métrique ?
Un ensemble muni d’une distance.
Comment est définie la distance usuelle sur K=R ou C ?
Par où |·| est la valeur absolue ou le module.
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