Quelles conditions doit satisfaire une distance sur un ensemble E ?
d(x,y)=0 si et seulement si x=y, d(x,y)=d(y,x), et d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).
Qu'est-ce qu'un espace métrique ?
Un ensemble muni d’une distance.
Comment est définie la distance usuelle sur K=R ou C ?
Par où |·| est la valeur absolue ou le module.
Quelle distance associe-t-on à une norme sur un espace vectoriel normé E ?
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Qu'est-ce que la distance induite par d sur un sous-ensemble A de E ?
La restriction de d à A est une distance sur A.
Quelle est la formule de la distance produit sur ?
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Quelle est la formule de la distance produit sur ?
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Quelle est la formule de la distance produit sur ?
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Quelles inégalités relient , et ?
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Comment se définit la boule ouverte de centre a et rayon r≥0 ?
L'ensemble des points x tels que d(x,a)<r.
Quelle est la définition de la boule fermée de centre a et rayon r≥0 ?
L'ensemble des points x tels que d(x,a)≤r.
Comment définit-on la sphère de centre a et rayon r ?
L'ensemble des points x tels que d(x,a)=r.
Quelle est la formule du diamètre d'une partie A non vide ?
.
Quelle est la valeur du diamètre de l'ensemble vide ?
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Quand une partie A d'un espace métrique est-elle bornée ?
Quand son diamètre est fini, équivalent à être contenue dans une boule.
Quelle est la condition de convergence d'une suite (xₙ) vers ε dans un espace métrique (E,d) ?
Pour tout ϑ>0, il existe N tel que pour tout n≥N, d(xₙ,ε)<ϑ.
Quelle propriété a la limite d'une suite convergente dans un espace métrique ?
Elle est unique.
Quand une suite dans un produit métrique fini converge-t-elle ?
Si et seulement si chacune de ses suites coordonnées converge vers la coordonnée correspondante de la limite.
Qu'est-ce qu'une sous-suite d'une suite (xₙ) ?
Une suite où φ:N→N est strictement croissante.
Quand un point ε est-il une valeur d’adhérence de (xₙ) ?
S'il existe une sous-suite de (xₙ) qui converge vers ε.
Quelle condition caractérise une valeur d’adhérence ε par rapport aux boules ouvertes ?
Toute boule ouverte centrée en ε contient une infinité de termes de la suite.
Que vaut la limite de toute sous-suite d’une suite convergente ?
Elle est égale à la limite de la suite entière.
Quelle est la définition d'une suite de Cauchy dans un espace métrique ?
Pour tout ϑ>0, il existe N tel que pour tous p,q≥N, d(xₚ,x_q)<ϑ.
Quelle propriété relie toute suite convergente à une suite de Cauchy ?
Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
Que devient une suite de Cauchy qui possède une valeur d’adhérence ?
Elle converge vers cette valeur d’adhérence.
Quelle condition caractérise une partie ouverte dans un espace métrique ?
Tout point est centre d'une boule ouverte contenue dans la partie.
Quels ensembles sont toujours ouverts dans tout espace métrique ?
L'ensemble vide, l'espace entier et toute boule ouverte.
Que devient une réunion quelconque d'ouverts dans un espace métrique ?
Elle est ouverte.
Que devient une intersection finie d'ouverts dans un espace métrique ?
Elle est ouverte.
Quelles propriétés doit vérifier une famille T pour être une topologie sur E ?
Contenir ∅ et E, stable par réunions quelconques et intersections finies.
Quelles parties contient une topologie sur un ensemble E ?
L'ensemble vide et E.
Quelles opérations sont stables dans une topologie sur E ?
Réunion quelconque et intersection finie.
Quels ouverts contient un espace métrique ?
L'ensemble vide et E.
Quelles opérations préservent l'ouverture dans un espace métrique ?
Réunion quelconque et intersection finie.
Qu'est-ce qu'un fermé dans un espace métrique ?
Une partie dont le complémentaire est un ouvert.
Quelles opérations préservent la fermeture dans un espace métrique ?
Intersection quelconque et réunion finie.
Qu'est-ce qu'un voisinage d'un point a ?
Une partie contenant un ouvert auquel appartient a.
Quelle condition caractérise un voisinage V de a selon la boule ouverte ?
V contient une boule ouverte de centre a et de rayon strictement positif.
Quand une partie est-elle ouverte ?
Si elle est un voisinage de chacun de ses points.
Qu'est-ce que l'intérieur d'une partie A ?
L'ensemble des points a pour lesquels A est un voisinage de a.
Quelle condition caractérise un point a dans l'intérieur de A ?
Il existe un rayon r > 0 tel que la boule ouverte B(a,r) soit incluse dans A.
Comment se définit l'intérieur de A en termes d'ouverts ?
C'est la réunion de tous les ouverts inclus dans A.
Quelle propriété caractérise l'intérieur de A parmi les ouverts ?
C'est le plus grand ouvert inclus dans A.
Qu'est-ce que l'adhérence d'un ensemble A ?
L'ensemble des points dont tout voisinage rencontre A.
Quelle condition caractérise un point adhérent à A avec une boule ouverte ?
Toute boule ouverte centrée en ce point et de rayon positif rencontre A.
Comment s'exprime l'adhérence de A en termes de fermés ?
C'est l'intersection de tous les fermés contenant A.
Quelle est la propriété d'une suite de points de A pour qu'un point x soit adhérent à A ?
Il existe une suite de points de A qui converge vers x.
Quelle condition caractérise une partie A fermée avec les suites convergentes ?
Toute suite d'éléments de A convergeant dans E a sa limite dans A.
Quelle est la définition de la frontière d'un ensemble A ?
L'ensemble .
Quelle relation existe-t-il entre la frontière d'une partie et celle de son complémentaire ?
Elles sont identiques.
Quand une partie A est-elle dite dense dans E ?
Lorsque son adhérence est égale à E.
Quelle condition caractérise une partie dense A dans E en termes de boules ouvertes ?
Toute boule ouverte de rayon strictement positif rencontre A.
Quelle autre caractérisation d'une partie dense A dans E utilise les suites ?
Tout point de E est limite d'une suite de points de A.
Quelle est la valeur de la distance discrète sur un ensemble E quand x=y ?
Elle vaut 0.
Comment s'exprime la distance produit sur ?
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Comment s'exprime la distance produit sur ?
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Comment s'exprime la distance produit sur ?
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Quelle inégalité lie le diamètre d'une boule ou sphère de rayon r>0 ?
Il est inférieur ou égal à 2r.
Comment se calcule la distance entre deux parties non vides A et B ?
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Qu'est-ce qu'une suite d'éléments de E ?
Une application de N dans E.
Quand une suite de nombres complexes converge-t-elle ?
Si et seulement si ses suites de parties réelles et imaginaires convergent toutes les deux.
Que montrent les approximations décimales de √2 dans Q ?
Elles forment une suite de Cauchy qui ne converge pas dans Q.
Quelle propriété a toute sous-suite d'une suite de Cauchy ?
Elle est encore une suite de Cauchy.
Quelle propriété de bornitude possède toute suite de Cauchy ?
Toute suite de Cauchy est bornée.
Quelles parties sont ouvertes pour la distance discrète sur un ensemble E ?
Toutes les parties de E sont ouvertes.
Qu'est-ce que la topologie associée à une distance d sur E ?
La collection de tous les ouverts de l'espace métrique (E,d).
Quels exemples de fermés donne-t-on dans un espace métrique ?
Boule fermée, sphère et partie finie.
Quel type d'ensemble est la frontière de toute partie ?
Un fermé.
Quels ensembles sont denses dans muni de la distance usuelle ?
Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels.
Teste tes connaissances avec un QCM de 51 questions sur Topologie des espaces métriques.
1. Dans un espace vectoriel normé, quelle expression définit la distance associée à la norme entre deux points et ?
2. Deux points distincts d’un ensemble muni de la distance discrète sont-ils nécessairement à distance unitaire l’un de l’autre ?
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