Fiche de révision : Topologie des espaces métriques

📋 Plan du Cours

1. Distances et espaces métriques
2. Constructions de distances
3. Boules et bornitude
4. Suites et convergence
5. Sous-suites et adhérence
6. Suites de Cauchy
7. Ouverts et topologies
8. Topologies et ensembles fermés
9. Voisinages et convergence
10. Intérieur d’une partie
11. Adhérence et points limites
12. Frontière et densité
13. Points d’accumulation et points isolés
14. Topologie d’une sous-partie

📖 1. Distances et espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Une application d:E×E→R₊ telle que d(x,y)=0 si et seulement si x=y, d(x,y)=d(y,x), et d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).
• Espace métrique : Un ensemble muni d’une distance.
• Distance discrète : Vaut 0 si x=y et 1 si x≠y.

📝 Points essentiels

• Sur K=R ou C, la distance usuelle est définie par $d(x,y)=|x-y|$, où |·| désigne la valeur absolue sur R ou le module sur C.

• Si E est un espace vectoriel normé, la distance associée à sa norme est $d(x,y)=\|x-y\|$.

💡 Astuce mémo

ZST : séparation, symétrie, triangle

📖 2. Constructions de distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance induite : Si (E,d) est un espace métrique et A⊆E, la restriction d|A est une distance sur A.

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur E₁×⋯×Eₘ, les trois distances produit sont $\omega_1(x,y)=\sum_{i=1}^{m}d_i(x_i,y_i)$, $\omega_2(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{m}d_i(x_i,y_i)^2}$ et $\omega_\infty(x,y)=\max_{1\le i\le m}d_i(x_i,y_i)$.

📐 Formule — Pour les distances produit, on a $\omega_\infty(x,y)\le\omega_2(x,y)\le\omega_1(x,y)\le m\omega_\infty(x,y)$.

Compléments

• Sur K^m, les distances produit deviennent respectivement $\sum_{i=1}^{m}|x_i-y_i|$, $\sqrt{\sum_{i=1}^{m}|x_i-y_i|^2}$ et $\max_{1\le i\le m}|x_i-y_i|$.

💡 Astuce mémo

Somme, euclidienne ou maximum : trois distances sur un produit

📖 3. Boules et bornitude

🔑 Notions clés & Définitions

• Boule ouverte : L’ensemble $\{x\in E\mid d(x,a)<r\}$.
• Boule fermée : L’ensemble $\{x\in E\mid d(x,a)\le r\}$.
• Sphère : L’ensemble $\{x\in E\mid d(x,a)=r\}$.
• Diamètre : Le diamètre d’une partie A est $\delta(A)=\sup_{x,y\in A}d(x,y)$ si A est non vide, et δ(∅)=0.
• Partie bornée : Une partie A d’un espace métrique est bornée si son diamètre est fini, ce qui est équivalent à être contenue dans une boule.
• Distance à une partie : Pour une partie non vide A et un point x, la distance de x à A est $d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)$.
• Distance entre parties : Pour deux parties non vides A et B, leur distance est $d(A,B)=\inf_{a\in A,b\in B}d(a,b)$.

📝 Points essentiels

📌 Le diamètre de toute boule ouverte, boule fermée ou sphère de rayon r>0 est inférieur ou égal à 2r.

💡 Astuce mémo

Boule ouverte < r, boule fermée ≤ r, sphère = r

📖 4. Suites et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence : Une suite (xₙ) d’un espace métrique (E,d) converge vers ε si, pour tout ϑ>0, il existe N∈N tel que pour tout n≥N, d(xₙ,ε)<ϑ.
• Suite : Une application de N dans E, notée (xₙ)ₙ∈N.

★ À maîtriser

📌 La limite d’une suite convergente dans un espace métrique est unique.

📌 Dans un produit métrique fini, une suite converge si et seulement si chacune de ses suites coordonnées converge vers la coordonnée correspondante de la limite.

Compléments

• Une suite de nombres complexes converge si et seulement si ses suites de parties réelles et de parties imaginaires convergent toutes les deux.

💡 Astuce mémo

Distance à la limite → convergence vers un point

📖 5. Sous-suites et adhérence

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-suite : Une sous-suite de (xₙ) est une suite (x_{φ(k)}) où φ:N→N est strictement croissante.
• Valeur d’adhérence : Un point vers lequel converge une sous-suite de (xₙ).

📝 Points essentiels

📌 Un point ε est une valeur d’adhérence de (xₙ) si et seulement si toute boule ouverte centrée en ε et de rayon strictement positif contient une infinité de termes de la suite.

📌 Toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite.

💡 Astuce mémo

Convergence : tous les termes finalement proches ; adhérence : une infinité de termes proches

📖 6. Suites de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Cauchy : Une suite (xₙ) d’un espace métrique est de Cauchy si, pour tout ϑ>0, il existe N∈N tel que pour tous p,q≥N, d(xₚ,x_q)<ϑ.

★ À maîtriser

📌 Toute suite convergente est une suite de Cauchy.

📌 Toute suite de Cauchy qui possède une valeur d’adhérence converge vers cette valeur d’adhérence.

Compléments

• Les approximations décimales de √2 forment une suite de Cauchy dans Q mais ne convergent pas dans Q.

📌 Toute sous-suite d’une suite de Cauchy est encore une suite de Cauchy.

📌 Toute suite de Cauchy est bornée.

💡 Astuce mémo

Termes finalement proches entre eux → Cauchy ; avec une valeur d’adhérence → convergence

📖 7. Ouverts et topologies

🔑 Notions clés & Définitions

• Ouvert : Une partie O dont tout point est le centre d’une boule ouverte contenue dans O.
• Topologie : Une famille T de parties de E contenant ∅ et E, stable par réunions quelconques et par intersections finies.
• Topologie associée : La topologie associée à une distance d est la collection de tous les ouverts de l’espace métrique (E,d).

★ À maîtriser

📌 Dans tout espace métrique, l’ensemble vide et l’espace tout entier sont ouverts, et toute boule ouverte est ouverte.

📌 Une réunion quelconque d’ouverts est ouverte, tandis qu’une intersection finie d’ouverts est ouverte.

Compléments

• Pour la distance discrète, toute partie d’un ensemble E est ouverte.

💡 Astuce mémo

Vide et ensemble, réunions quelconques, intersections finies

📖 8. Topologies et ensembles fermés

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie : Une famille de parties de E qui contient l’ensemble vide et E, qui est stable par réunion quelconque et qui est stable par intersection finie.
• Fermé : Une partie dont le complémentaire est un ouvert.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace métrique, les ouverts vérifient que l’ensemble vide et E sont ouverts, que toute réunion d’ouverts est ouverte et que toute intersection finie d’ouverts est ouverte.

📌 Dans un espace métrique, toute intersection de fermés est fermée et toute réunion finie de fermés est fermée.

Compléments

• Dans un espace métrique, toute boule fermée, toute sphère et toute partie finie sont des fermés.

💡 Astuce mémo

Ouvert : complémentaire fermé ; fermé : complémentaire ouvert

📖 9. Voisinages et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Voisinage : Une partie V qui contient un ouvert auquel appartient a.

📝 Points essentiels

• Une partie V est un voisinage de a si et seulement si elle contient une boule ouverte de centre a et de rayon strictement positif.

• Une partie est ouverte si et seulement si elle est un voisinage de chacun de ses points.

• Une suite converge vers ε si et seulement si, pour tout voisinage V de ε, il existe un rang N tel que xn appartient à V pour tout n supérieur ou égal à N.

💡 Astuce mémo

Voisinage contenant une boule → critère local de convergence

📖 10. Intérieur d’une partie

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérieur : L’ensemble des points a pour lesquels A est un voisinage de a.

★ À maîtriser

📌 Un point a appartient à l’intérieur de A si et seulement s’il existe un rayon r strictement positif tel que la boule ouverte B(a,r) soit incluse dans A.

📌 L’intérieur de A est la réunion de tous les ouverts inclus dans A et constitue le plus grand ouvert inclus dans A.

Compléments

📌 Une partie est ouverte si et seulement si elle est égale à son intérieur.

💡 Astuce mémo

L’intérieur est la zone couverte par les boules entièrement contenues dans la partie

📖 11. Adhérence et points limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Adhérence : L’ensemble des points a dont tout voisinage rencontre A.

★ À maîtriser

• Un point a est adhérent à A si et seulement si toute boule ouverte de centre a et de rayon strictement positif rencontre A.

• L’adhérence de A est l’intersection de tous les fermés contenant A et le plus petit fermé contenant A.

• Un point x est adhérent à A si et seulement s’il existe une suite de points de A qui converge vers x.

• Une partie A est fermée si et seulement si toute suite d’éléments de A qui converge dans E a sa limite dans A.

Compléments

📌 Un point x est adhérent à A si et seulement si la distance de x à A vérifie $d(x,A)=0$.

💡 Astuce mémo

Voisinages → boules → suites → distance nulle

📖 12. Frontière et densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Frontière : La frontière de A est l’ensemble $\operatorname{fr}(A)=\operatorname{adh}(A)\setminus\operatorname{int}(A)$.
• Ensemble dense : Une partie A est dense dans E si son adhérence est égale à E.

★ À maîtriser

📌 Une partie et son complémentaire ont la même frontière.

📌 Une partie A est dense si et seulement si toute boule ouverte de rayon strictement positif rencontre A, ce qui équivaut à dire que tout point de E est limite d’une suite de points de A.

Compléments

📌 La frontière de toute partie est un fermé.

• Dans R muni de la distance usuelle, les nombres décimaux, les nombres rationnels et les nombres irrationnels sont denses.

💡 Astuce mémo

Intérieur : entièrement dedans ; frontière : dedans et dehors au voisinage

📖 13. Points d’accumulation et points isolés

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’accumulation : Un point dont tout voisinage rencontre A en un point différent de lui-même.
• Point isolé : Un point adhérent a qui n’est pas un point d’accumulation de A.

★ À maîtriser

📌 Un point a est isolé de A si et seulement s’il existe un rayon r strictement positif tel que $B(a,r)\cap A=\{a\}$.

📌 Une partie est fermée si et seulement si elle contient tous ses points d’accumulation.

Compléments

📌 Un point a est un point d’accumulation de A si et seulement si tout voisinage de a contient une infinité de points de A.

💡 Astuce mémo

Accumulation : d’autres points arbitrairement proches ; isolé : une boule ne contient que lui

📖 14. Topologie d’une sous-partie

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance induite : La restriction de la distance d à A fois A.

★ À maîtriser

• Une partie B de A est ouverte dans l’espace métrique A si et seulement s’il existe un ouvert O de E tel que $B=O\cap A$.

• Une partie B de A est fermée dans A si et seulement s’il existe un fermé F de E tel que $B=F\cap A$.

• Pour une partie B de A, son adhérence dans A est l’intersection de A avec son adhérence dans E.

Compléments

📌 Pour une partie B de A, l’intérieur de B dans E est inclus dans l’intérieur de B dans A, mais l’égalité peut échouer.

• Dans R avec sa distance usuelle, l’ensemble ]0,+∞[ est fermé dans R privé de zéro muni de la distance induite, car il est l’intersection de [0,+∞[ avec R privé de zéro.

💡 Astuce mémo

Ouvert relatif = intersection avec un ouvert ambiant ; fermé relatif = intersection avec un fermé ambiant

📊 Tableaux de synthèse

Distances produit

Caractérisations des notions topologiques