Topologie des espaces métriques

📋 Plan du Cours

1. Distances et espaces métriques
2. Constructions de distances
3. Boules et bornitude
4. Suites et convergence
5. Sous-suites et adhérence
6. Suites de Cauchy
7. Ouverts et topologies
8. Topologies et ensembles fermés
9. Voisinages et convergence
10. Intérieur d’une partie
11. Adhérence et points limites
12. Frontière et densité
13. Points d’accumulation et points isolés
14. Topologie d’une sous-partie

📖 1. Distances et espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Une application d:E×E→R₊ telle que d(x,y)=0 si et seulement si x=y, d(x,y)=d(y,x), et d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).
• Espace métrique : Un ensemble muni d’une distance.
• Distance discrète : Vaut 0 si x=y et 1 si x≠y.

📝 Points essentiels

• Sur K=R ou C, la distance usuelle est définie par $d(x,y)=|x-y|$, où |·| désigne la valeur absolue sur R ou le module sur C.

• Si E est un espace vectoriel normé, la distance associée à sa norme est $d(x,y)=\|x-y\|$.

💡 Astuce mémo

ZST : séparation, symétrie, triangle