QCM : Polynômes du second degré (7 questions)

Question 1

1. Pour une équation du second degré à coefficients réels, le discriminant vaut $-9$ . Que peut-on conclure sur ses solutions réelles ?

Elle a une racine réelle double et une racine complexe.

Elle a deux solutions réelles distinctes.

Elle a une unique solution réelle.

Elle n’a pas de solution réelle.

Explication

Un discriminant négatif implique que l’équation n’a pas de solution réelle. L’unique solution correspond au discriminant nul, tandis que deux solutions distinctes correspondent à un discriminant positif.

Answer

Elle n’a pas de solution réelle.

Question 2

2. Un polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ a pour racines distinctes $-2$ et $5$ . Quelle factorisation convient ?

a(x+2)^2

a(x-2)(x+5)

a(x+2)(x-5)

(x+2)(x-5)

Explication

Avec deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , le polynôme se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; pour $-2$ et $5$ , cela donne $a(x+2)(x-5)$ . Le produit sans $a$ oublie le coefficient dominant, les signes inversés donnent d’autres racines et le facteur carré correspond à une racine double.

Answer

$$a(x+2)(x-5)$$

Question 3

3. Un polynôme du second degré à coefficients réels a un discriminant strictement négatif. Quelle conclusion s’applique à sa factorisation en facteurs du premier degré sur les réels ?

Il se factorise en le carré d’un facteur du premier degré réel.

Il se factorise en deux facteurs du premier degré réels distincts.

Il se factorise en un facteur réel et un facteur du second degré.

Il ne peut pas se factoriser en facteurs du premier degré réels.

Explication

Lorsque le discriminant est négatif, le polynôme n’a pas de racine réelle et ne peut donc pas se factoriser en facteurs du premier degré sur les réels. Deux facteurs linéaires distincts relèvent du discriminant positif, et un facteur linéaire au carré du discriminant nul.

Answer

Il ne peut pas se factoriser en facteurs du premier degré réels.

Question 4

4. Dans le cas où un trinôme possède deux racines réelles distinctes ordonnées $x_1<x_2$ , que représente son signe sur les intervalles délimités par ces racines ?

Il change de signe à chaque racine et retrouve le signe de

a

entre les racines.

Il conserve le signe de

a

sur les trois intervalles délimités par les racines.

Il est du signe de

a

à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles.

Il est du signe opposé à

a

à l’extérieur des racines et du signe de

a

entre elles.

Explication

Entre deux racines distinctes, le trinôme est du signe opposé à son coefficient dominant, tandis qu’à l’extérieur il est du signe de $a$ . L’alternance à chaque racine ne signifie pas qu’il retrouve le signe de $a$ entre les racines.

Answer

Il est du signe de $$a$$ à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles.

Question 5

5. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes, comment s’expriment la somme $S$ et le produit $P$ de ses racines en fonction de ses coefficients ?

S=-\frac{c}{a}

et

P=\frac{b}{a}

S=-\frac{b}{a}

et

P=\frac{c}{a}

S=\frac{c}{a}

et

P=\frac{b}{a}

S=\frac{b}{a}

et

P=-\frac{c}{a}

Explication

Les relations entre les coefficients et les racines donnent $S=-\frac{b}{a}$ et $P=\frac{c}{a}$ . Inverser le signe de la somme et celui du produit, comme dans une autre proposition, ne respecte pas ces relations.

Answer

$$S=-\frac{b}{a}$$ et $$P=\frac{c}{a}$$

Question 6

6. Quel rôle joue le discriminant dans le choix de la formule permettant de résoudre une équation du second degré ?

Il indique si l’équation a deux solutions réelles, une solution réelle ou aucune solution réelle.

Il fournit la factorisation du trinôme sans calculer ses racines.

Il détermine le signe du coefficient de degré deux sans examiner l’équation.

Il donne directement la somme des solutions sans utiliser les coefficients.

Explication

Le signe du discriminant permet de choisir le cas de résolution : deux solutions distinctes si $\Delta>0$ , une solution si $\Delta=0$ et aucune solution réelle si $\Delta<0$ . La somme des racines se calcule à partir des coefficients, et non du discriminant seul.

Answer

Il indique si l’équation a deux solutions réelles, une solution réelle ou aucune solution réelle.

Question 7

7. En quoi les factorisations d’un trinôme dont le discriminant est positif et d’un trinôme dont le discriminant est nul diffèrent-elles ?

Le premier se factorise en deux facteurs associés à deux racines distinctes, tandis que le second contient le carré du facteur associé à sa racine double.

Le premier ne se factorise pas en facteurs du premier degré, tandis que le second contient le carré du facteur associé à sa racine double.

Le premier contient le carré du facteur associé à sa racine double, tandis que le second se factorise en deux facteurs associés à deux racines distinctes.

Le premier se factorise en deux facteurs associés à deux racines distinctes, tandis que le second ne se factorise pas en facteurs du premier degré.

Explication

Lorsque le discriminant est positif, le trinôme possède deux racines distinctes et s’écrit sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; lorsqu’il est nul, sa racine est double et le trinôme s’écrit $a(x-x_0)^2$ . L’absence de factorisation en facteurs du premier degré concerne le discriminant négatif, et non nul.

Answer

Le premier se factorise en deux facteurs associés à deux racines distinctes, tandis que le second contient le carré du facteur associé à sa racine double.

QCM : Polynômes du second degré (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une équation du second degré à coefficients réels, le discriminant vaut $-9$ . Que peut-on conclure sur ses solutions réelles ?

2. Un polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ a pour racines distinctes $-2$ et $5$ . Quelle factorisation convient ?

3. Un polynôme du second degré à coefficients réels a un discriminant strictement négatif. Quelle conclusion s’applique à sa factorisation en facteurs du premier degré sur les réels ?

4. Dans le cas où un trinôme possède deux racines réelles distinctes ordonnées $x_1<x_2$ , que représente son signe sur les intervalles délimités par ces racines ?

5. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes, comment s’expriment la somme $S$ et le produit $P$ de ses racines en fonction de ses coefficients ?

6. Quel rôle joue le discriminant dans le choix de la formule permettant de résoudre une équation du second degré ?

7. En quoi les factorisations d’un trinôme dont le discriminant est positif et d’un trinôme dont le discriminant est nul diffèrent-elles ?

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QCM : Polynômes du second degré (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une équation du second degré à coefficients réels, le discriminant vaut −9-9−9. Que peut-on conclure sur ses solutions réelles ?

2. Un polynôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0 a pour racines distinctes −2-2−2 et 555. Quelle factorisation convient ?

3. Un polynôme du second degré à coefficients réels a un discriminant strictement négatif. Quelle conclusion s’applique à sa factorisation en facteurs du premier degré sur les réels ?

4. Dans le cas où un trinôme possède deux racines réelles distinctes ordonnées x1<x2x_1<x_2x1​<x2​, que représente son signe sur les intervalles délimités par ces racines ?

5. Pour un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ayant deux racines distinctes, comment s’expriment la somme SSS et le produit PPP de ses racines en fonction de ses coefficients ?

6. Quel rôle joue le discriminant dans le choix de la formule permettant de résoudre une équation du second degré ?

7. En quoi les factorisations d’un trinôme dont le discriminant est positif et d’un trinôme dont le discriminant est nul diffèrent-elles ?

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1. Pour une équation du second degré à coefficients réels, le discriminant vaut $-9$ . Que peut-on conclure sur ses solutions réelles ?

2. Un polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ a pour racines distinctes $-2$ et $5$ . Quelle factorisation convient ?

4. Dans le cas où un trinôme possède deux racines réelles distinctes ordonnées $x_1<x_2$ , que représente son signe sur les intervalles délimités par ces racines ?

5. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes, comment s’expriment la somme $S$ et le produit $P$ de ses racines en fonction de ses coefficients ?