Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Résolution selon le discriminant
2. Factorisation selon le discriminant
3. Signe du polynôme
4. Somme et produit des racines

📖 1. Résolution selon le discriminant

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $\Delta>0$, les deux solutions distinctes sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📐 Formule - Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $\Delta=0$, l’unique solution est $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $\Delta<0$, l’équation n’a pas de solution réelle.

📖 2. Factorisation selon le discriminant

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ et $\Delta>0$, la factorisation est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du polynôme.

Compléments

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ et $\Delta=0$, la factorisation est $f(x)=a(x-x_0)^2$, où $x_0$ est la racine double.

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ et $\Delta<0$, le polynôme ne peut pas se factoriser en facteurs du premier degré.

📖 3. Signe du polynôme

★ À maîtriser

• Si $\Delta>0$, le signe de $ax^2+bx+c$ est celui de $a$ sur $]-\infty,x_1[$ et $]x_2,+\infty[$, et celui de $-a$ sur $]x_1,x_2[$.

Compléments

• Si $\Delta=0$, $f(x)$ est du signe de $a$ et s’annule pour $x=x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, $f(x)$ est du signe de $a$.

💡 Astuce mémo

Avec deux racines, le signe alterne ; sans racine réelle, il reste celui de a.

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ayant deux racines distinctes, leur somme et leur produit vérifient $S=-\frac{b}{a}$ et $P=\frac{c}{a}$.

Compléments

📐 Formule - Avec $S$ la somme et $P$ le produit des racines, l’équation $ax^2+bx+c=0$ s’écrit $a(x^2-Sx+P)=0$, puis $x^2-Sx+P=0$.