Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Polynômes et formes développées
2. Forme canonique et variations
3. Discriminant et racines
4. Factorisation et racines
5. Signe d’un trinôme
6. Équations et identités remarquables

📖 1. Polynômes et formes développées

🔑 Notions clés & Définitions

• Monôme : Terme qui s’écrit sous la forme $ax^n$, où a est un nombre réel et n un entier naturel ; n est son degré et a son coefficient.
• Fonction polynôme : Fonction qui s’écrit $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ avec $a_n\ne0$, et dont le degré est la plus grande puissance de x apparaissant dans sa forme développée.

★ À maîtriser

📌 Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux.

Compléments

• Les expressions $\sqrt{x}$ et $\frac{1}{x}$ ne sont pas des fonctions polynômes.

📖 2. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur R qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout polynôme du second degré s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📌 Si $a>0$, la fonction est décroissante puis croissante et admet un minimum en $x=\alpha$ ; si $a<0$, elle est croissante puis décroissante et admet un maximum en $x=\alpha$.

Compléments

• La courbe représentative d’une fonction du second degré est une parabole d’axe de symétrie $x=\alpha=-\frac{b}{2a}$ et de sommet de coordonnées $(\alpha,\beta)$.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum ; a<0 : maximum

📖 3. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, l’équation $f(x)=0$ possède deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution double $x_0=-\frac{b}{2a}=\alpha$.

• Si $\Delta<0$, l’équation $f(x)=0$ n’a aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ>0 : deux racines ; Δ=0 : une racine double ; Δ<0 : aucune racine réelle

📖 4. Factorisation et racines

★ À maîtriser

📌 Lorsque $\Delta\ge0$, le polynôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $x_1=x_2$ dans le cas d’une racine double.

• Pour factoriser un polynôme à partir d’une racine évidente, on identifie la racine, on associe le facteur correspondant, puis on détermine le quotient par identification ou division.

Compléments

📐 Formule — Si $\Delta\ge0$, les racines vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, $x^n-1=(x-1)(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})$.

💡 Astuce mémo

Racine connue → facteur associé → factorisation

📖 5. Signe d’un trinôme

★ À maîtriser

• Si $\Delta>0$ et $x_1<x_2$, le trinôme est du signe de a sur $]-\infty,x_1[\cup]x_2,+\infty[$ et du signe opposé à a sur $]x_1,x_2[$.

• Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a sur R sauf en $x_0$, où il s’annule.

• Si $\Delta<0$, le trinôme ne s’annule jamais et garde partout le signe de a.

Compléments

• La courbe d’un trinôme coupe l’axe des abscisses en deux points si $\Delta>0$, en un seul point si $\Delta=0$ et ne le coupe pas si $\Delta<0$.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le trinôme a le signe de a ; entre elles, le signe opposé

📖 6. Équations et identités remarquables

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation ou une inéquation, on transforme l’expression en produit nul ou en produit factorisé, puis on utilise les racines et le tableau de signe correspondant.

Compléments

• L’identité remarquable $x^n-a^n=(x-a)(a^{n-1}+a^{n-2}x+a^{n-3}x^2+\cdots+ax^{n-2}+x^{n-1})$ permet de factoriser une différence de puissances.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et comportement du trinôme