QCM : Polynômes du second degré — 17 questions

Explication

Dans un monôme $ax^n$, l’exposant $n$ est le degré et le nombre $a$ est le coefficient. Ici, l’exposant vaut $5$ et le coefficient vaut $-3$, tandis que l’ordre inverse confond ces deux notions.

Explication

Le degré est la plus grande puissance de $x$ présente, soit $4$, et le coefficient dominant est le coefficient de $x^4$, soit $-2$. Le nombre $7$ correspond au coefficient du terme de degré $2$, pas au coefficient dominant.

Explication

Deux polynômes sont égaux lorsque les coefficients des termes de même degré coïncident. Il faut donc identifier $p$ au coefficient de $x$, qui vaut $5$, et $q$ au terme constant, qui vaut $-4$.

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$. La première expression respecte cette forme, tandis que les autres ont un degré différent ou comportent une puissance non entière ou négative de $x$.

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$, puis $\beta=f(2)=2\times2^2-8\times2+3=-5$. La valeur de $\beta$ est donc l’image de $\alpha$, et non le terme constant de la forme développée.

Explication

Le coefficient de $x^2$ est négatif, donc la fonction est croissante avant le sommet puis décroissante après celui-ci. Comme $\alpha=1$, l’extremum est un maximum atteint en $x=1$, et non un minimum.

Explication

Le discriminant d’un trinôme du second degré est défini par $\Delta=b^2-4ac$. L’expression $-\frac{b}{2a}$ détermine l’abscisse du sommet, tandis que la dernière expression donne une racine dans certains cas.

Explication

Ici, $\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=1>0$, donc il existe deux racines réelles distinctes. La formule donne $x_1=2$ et $x_2=3$ ; le cas $\Delta=0$ correspondrait à une racine double.

Explication

Le discriminant vaut $\Delta=(-4)^2-4\times2\times2=0$, donc l’équation possède une racine double. Cette racine est $x_0=-\frac{b}{2a}=1$, qui coïncide avec l’abscisse du sommet.

Explication

Le discriminant vaut $\Delta=2^2-4\times1\times5=-16<0$, donc aucune racine réelle n’existe. Une racine double ou deux racines distinctes nécessiteraient respectivement $\Delta=0$ ou $\Delta>0$.

Explication

Une racine évidente fournit un facteur de la forme $x-r$, puis le quotient s’obtient par identification ou par division. Le calcul du discriminant peut être utile dans d’autres méthodes, mais il ne constitue pas cette démarche spécifique.

Explication

Si $\Delta\ge0$, les racines sont réelles et l’écriture $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ est possible, avec une racine double lorsque $\Delta=0$. Lorsque $\Delta<0$, le trinôme ne possède pas de racines réelles permettant cette factorisation sur $\mathbb{R}$.

Explication

Entre deux racines distinctes, le signe du trinôme est opposé à celui de son coefficient dominant ; il est donc négatif ici. À l’extérieur des racines, il retrouve le signe positif du coefficient dominant.

Explication

Avec $\Delta<0$, le trinôme ne possède aucune racine réelle et ne s’annule donc pas ; son signe reste celui de $a$ sur $\mathbb{R}$. Une racine double correspond au cas $\Delta=0$, pas au cas considéré.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, le trinôme possède une seule racine réelle, appelée racine double, et la courbe est tangente à l’axe des abscisses en ce point. Deux intersections distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$.

Explication

La factorisation transforme l’expression en produit nul ou en produit dont le signe peut être étudié grâce aux racines et au tableau de signe. Le sommet peut apporter des informations géométriques, mais il ne remplace pas cette méthode générale.

Explication

La différence de deux puissances se factorise par le facteur $x-a$, suivi d’une somme dont les termes associent les puissances de $a$ et de $x$. Le facteur $x+a$ concerne plutôt certaines sommes de puissances selon la parité de l’exposant.