QCM : Polynômes du second degré — 10 questions

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ et des coefficients réels. L’expression contenant $\frac{1}{x}$, $\sqrt{x}$ ou une puissance non adaptée ne respecte pas cette forme, tandis qu’une expression sans terme en $x^2$ est de degré inférieur.

Explication

La forme générale d'un polynôme du second degré est $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$ et a, b, c réels. Les autres expressions ne correspondent pas à un polynôme du second degré, notamment celles contenant une racine ou une puissance négative de x.

Explication

La présence de $\sqrt{x}$ empêche l’expression d’être un polynôme du second degré. Les autres expressions sont de la forme $ax^2+bx+c$ avec un coefficient de $x^2$ non nul.

Explication

La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole, en particulier ses coordonnées $extalpha$ et $extbeta$. Elle n'est pas principalement utilisée pour la factorisation ou le calcul du discriminant, qui sont abordés séparément.

Explication

Lorsque le discriminant est strictement positif, deux racines délimitent un intervalle où le polynôme a le signe opposé à celui de $a$. À l’extérieur de cet intervalle, il conserve le signe de $a$.

Explication

Le discriminant $\triangle$ étant nul indique une racine unique, ce qui signifie que la parabole touche l'axe en un seul point. Si $\triangle>0$, il y a deux racines, et si $\triangle<0$, il n'y en a aucune.

Explication

Un discriminant nul correspond à une racine unique, donc la parabole est tangente à l’axe des abscisses en un seul point. Deux intersections distinctes correspondent à un discriminant strictement positif, tandis qu’une absence d’intersection correspond à un discriminant strictement négatif.

Explication

La forme factorisée exprime le polynôme en termes de ses racines, ce qui facilite leur identification, tandis que la forme canonique met en évidence le sommet de la parabole. La différence principale réside dans leur utilisation et leur objectif.

Explication

Jacobi est connu pour avoir développé la forme canonique, permettant d'écrire un polynôme du second degré sous une forme qui met en évidence son sommet. Gauss, Binet et Cauchy ont contribué à d'autres domaines mathématiques, mais pas spécifiquement à cette forme.

Explication

Lorsque le discriminant est strictement négatif, le polynôme n'a pas de racines réelles, donc la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses et conserve le signe de a partout. La réponse sur la coupe en deux points concerne un discriminant positif, et celle sur une racine double concerne un discriminant nul.