Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme générale
2. Représentation graphique et signes
3. Variations et sommet
4. Discriminant et racines
5. Forme factorisée
6. Forme canonique
7. Somme et produit des racines

📖 1. Définition et forme générale

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$ et a, b et c réels.

★ À maîtriser

📌 Une expression contenant $\sqrt{x}$, $1/x$ ou une puissance négative de x n'est pas un polynôme du second degré.

Compléments

• Dans $f(x)=2x^2+3x-5$, les coefficients sont a=2, b=3 et c=-5.

📖 2. Représentation graphique et signes

📝 Points essentiels

📌 Le signe du polynôme du second degré est le signe de a sauf entre les deux racines lorsque le discriminant est strictement positif.

• Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme ne s'annule jamais et garde partout le signe de a.

• Si le discriminant est nul, la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point et le polynôme s'annule en une seule valeur.

• Si le discriminant est strictement positif, la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points correspondant aux deux racines.

💡 Astuce mémo

U vers le haut si a>0, U inversé si a<0

📖 3. Variations et sommet

📝 Points essentiels

📐 Formule — L'abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée est $\beta=f(\alpha)$.

📌 Si a>0, la parabole est tournée vers le haut, la fonction est d'abord décroissante puis croissante et le sommet est un minimum.

📖 4. Discriminant et racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant du polynôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, les deux racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l'unique racine est $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, le polynôme n'a aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Delta négatif : 0 racine ; nul : 1 ; positif : 2

📖 5. Forme factorisée

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $\Delta>0$, la forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le polynôme ne peut pas être factorisé sur les nombres réels à l'aide de racines réelles.

📖 6. Forme canonique

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout polynôme du second degré s'écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• La forme canonique de $3x^2-x+5$ est $3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{59}{12}$.

📖 7. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux racines x₁ et x₂ du polynôme $ax^2+bx+c$, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

• Pour déterminer deux nombres de somme S et de produit P, on cherche les racines du polynôme $x^2-Sx+P$.

Compléments

• Les deux nombres de somme 19 et de produit 84 sont 7 et 12.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant