Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et coefficients
2. Racines et forme factorisée
3. Méthodes de factorisation
4. Nombre de racines
5. Discriminant et racines
6. Forme factorisée et discriminant
7. Parabole et sommet
8. Tableau de signes et inéquations

📖 1. Définition et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 La fonction $p(x)=5x-3$ est affine et $h(x)=x^3-2x^2+2$ est de degré 3 ; ni l’une ni l’autre n’est un polynôme du second degré.

📌 Deux polynômes sont égaux pour tout x si et seulement si leurs coefficients correspondants sont égaux.

Compléments

• Dans $g(x)=3x^2-4x+7$, les coefficients sont $a=3$, $b=-4$ et $c=7$.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : Polynôme du second degré qui s’écrit, pour tout réel x, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$, alors les seules racines de f sont x₁ et x₂.

📐 Formule — Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ de racines x₁ et x₂, on a $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Dans la forme factorisée, x est l’inconnue, tandis que x₁ et x₂ sont des nombres fixés.

📖 3. Méthodes de factorisation

★ À maîtriser

• Pour factoriser par une racine évidente, on teste des valeurs simples jusqu’à trouver x₁ tel que $f(x_1)=0$, on écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-m)$, on développe, on identifie les coefficients, puis on vérifie m.

📐 Formule — Les trois identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .

Compléments

📌 Si le terme constant est nul, $ax^2+bx$ se factorise par x ou par ax ; sinon, on recherche une identité remarquable.

💡 Astuce mémo

Facteur commun ou identité remarquable → racine évidente → identification des coefficients.

📖 4. Nombre de racines

📝 Points essentiels

📌 Un polynôme du second degré admet au plus deux racines réelles.

📌 Les trois situations possibles sont deux racines distinctes, une seule racine appelée racine double, ou aucune racine réelle.

📖 5. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, le nombre réel $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, le trinôme admet deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, le trinôme admet une racine double $x_0=\frac{-b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, le trinôme n’admet aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Δ : positif, nul ou négatif donnent 2, 1 ou 0 racine réelle.

📖 6. Forme factorisée et discriminant

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta>0$, la forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$, elle est $a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta<0$, le trinôme ne se factorise pas dans ℝ.

💡 Astuce mémo

Δ>0 donne deux facteurs, Δ=0 un carré, Δ<0 aucune factorisation réelle.

📖 7. Parabole et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’un trinôme du second degré est une parabole qui admet une symétrie axiale.

📝 Points essentiels

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas et la fonction admet un maximum.

📐 Formule — L’axe de symétrie de la parabole de $f(x)=ax^2+bx+c$ a pour équation $x=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Le sommet de la parabole est $S\left(-\frac{b}{2a};f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

💡 Astuce mémo

a>0 : parabole vers le haut et minimum ; a<0 : vers le bas et maximum.

📖 8. Tableau de signes et inéquations

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$, le signe de f est celui de a à l’extérieur des deux racines et le signe contraire entre elles.

📌 Si $\Delta=0$, f garde le signe de a partout sauf en la racine double x₀, où $f(x_0)=0$ ; si $\Delta<0$, f garde le signe de a pour tout réel x.

• Pour dresser un tableau de signes, on identifie a, b et c, on calcule Δ et les racines éventuelles, on place les racines dans l’ordre croissant, on inscrit les signes, puis on vérifie avec une valeur simple comme $f(0)=c$.

Compléments

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on regroupe les termes sous la forme $f(x)\,\square\,0$, on dresse le tableau de signes, on lit les valeurs convenables et on écrit l’ensemble solution avec des intervalles adaptés.

💡 Astuce mémo

Identifier → calculer Δ → ordonner les racines → remplir les signes → vérifier.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et configurations