Fiche de révision : Réponses temporelles des systèmes linéaires

📋 Plan du Cours

1. Réponse temporelle et résolution
2. Régimes transitoire et permanent
3. Systèmes du premier ordre
4. Systèmes du second ordre
5. Stabilité et pôles dominants
6. Critères de performance
7. Précision en boucle fermée
8. Perturbations et indicateurs temporels

📖 1. Réponse temporelle et résolution

★ À maîtriser

📌 L’analyse cherche à déterminer la sortie y(t) pour une entrée u(t) donnée, tandis que la commande cherche à calculer l’entrée u(t) afin d’obtenir une sortie y(t) fixée.

• La réponse temporelle se trouve en résolvant l’équation différentielle qui modélise le système pour une entrée donnée, telle qu’une impulsion de Dirac, un échelon, une rampe ou un sinus.

• La solution d’une équation différentielle s’écrit comme la somme y(t)=y1(t)+y2(t), où y1(t) est la solution homogène et y2(t) une solution particulière de l’équation complète.

Compléments

📌 La résolution directe d’une équation différentielle et la résolution par transformée de Laplace sont deux approches possibles, la méthode de Laplace étant présentée comme préférable.

💡 Astuce mémo

Analyse : entrée connue → sortie recherchée ; commande : sortie fixée → entrée recherchée

📖 2. Régimes transitoire et permanent

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime transitoire : Existe tant que les exponentielles de la réponse ne sont pas considérées comme éteintes.
• Temps d’établissement à 2 % : Temps nécessaire pour que la réponse atteigne puis reste dans une bande de 2 % de l’écart entre y∞ et y0.

📝 Points essentiels

📌 Dans le domaine de Laplace, la sortie se décompose en un régime forcé $L^{-1}(G(s)U(s))$ et un régime libre $L^{-1}\left(\frac{I(s)}{D(s)}\right)$.

💡 Astuce mémo

Exponentielles persistantes → transitoire ; exponentielles éteintes → permanent

📖 3. Systèmes du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction de transfert d’un système du premier ordre est $\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{1+\tau s}$, où K est le gain statique et τ la constante de temps.

📐 Formule — Pour un échelon d’amplitude A, la réponse d’un premier ordre est $y(t)=KA\left(1-e^{-t/\tau}\right)+y(0)e^{-t/\tau}$, et devient $y(t)=KA\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ si la condition initiale est nulle.

• Pour un premier ordre à condition initiale nulle, la réponse atteint 63 % de sa valeur finale à t=τ et le temps de réponse à 2 % vaut environ 4τ.

Compléments

📐 Formule — La réponse impulsionnelle d’un premier ordre sans condition initiale est $y(t)=\frac{K}{\tau}e^{-t/\tau}$.

💡 Astuce mémo

Une exponentielle qui monte vers KA comme une jauge graduée à 63 %

📖 4. Systèmes du second ordre

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme normalisée d’un système du second ordre est $\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2z\omega_ns+\omega_n^2}$, où K est le gain statique, ωn la pulsation propre non amortie et z le coefficient d’amortissement.

📌 Pour z>1, les pôles sont réels négatifs et distincts et la réponse est apériodique ; pour z=1, les pôles sont réels négatifs doubles et la réponse reste apériodique ; pour z<1, les pôles sont complexes à parties réelles négatives et la réponse est oscillante.

📐 Formule — Pour z<1, la pulsation des oscillations est $\omega_p=\omega_n\sqrt{1-z^2}$.

Compléments

📐 Formule — Pour z<1, le premier dépassement exprimé en pourcentage vaut $D=e^{-\frac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}}$.

📐 Formule — Pour z=0,7, une approximation du temps de réponse à 2 % est $t_r\approx\frac{4}{z\omega_n}$.

💡 Astuce mémo

z>1 : apériodique ; z=1 : critique ; z<1 : oscillant

📖 5. Stabilité et pôles dominants

★ À maîtriser

📌 Un système dont les pôles possèdent une partie réelle positive est instable, car ses réponses temporelles contiennent des exponentielles positives et divergent.

📌 Dans un système stable, les pôles les plus à droite dans le demi-plan gauche sont les plus lents et dominent généralement la dynamique et le temps de réponse.

Compléments

📌 Un système stable d’ordre n peut souvent être assimilé à un système du second ordre si ses pôles dominants sont complexes, ou à un système du premier ordre si son pôle dominant est réel.

💡 Astuce mémo

Pôles à partie réelle positive → exponentielles croissantes → divergence

📖 6. Critères de performance

🔑 Notions clés & Définitions

• Précision : S’apprécie en régime permanent par la valeur finale de l’erreur entre la consigne et la sortie.

★ À maîtriser

• Les critères sont:
  • la stabilité
  • la précision
  • la rapidité

📐 Formule — Le théorème de la valeur finale donne $\epsilon_\infty=\lim_{t\to\infty}\epsilon(t)=\lim_{s\to0}s\epsilon(s)$.

Compléments

• Les indicateurs sont: le temps d’établissement à 2 %, le temps de montée jusqu’à 90 % de la valeur finale, les dépassements, les temps de pic

💡 Astuce mémo

SPR : stabilité, précision, rapidité

📖 7. Précision en boucle fermée

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une boucle fermée, l’erreur vérifie $\epsilon(s)=\frac{Y_c(s)}{1+KG_1(s)G_2(s)}$.

📐 Formule — Pour une consigne échelon et un système de type 0, l’erreur finale vaut $\epsilon_\infty=\frac{e_0}{1+K}$.

📌 Pour une consigne échelon, un système de type au moins 1 possède au moins un intégrateur pur et donne une erreur finale nulle, à condition que la boucle fermée reste stable.

📐 Formule — Pour une consigne rampe, l’erreur finale vaut l’infini pour un système de type 0, une constante $\frac{\omega_0}{K}$ pour un système de type 1 et zéro pour un système de type au moins 2, sous réserve de stabilité en boucle fermée.

💡 Astuce mémo

Type 0, type 1, type 2 : erreur croissante, constante, puis nulle selon l’entrée

📖 8. Perturbations et indicateurs temporels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une perturbation D(s), le transfert entre l’erreur et la perturbation est $\epsilon(s)=-\frac{K_2G_2(s)}{1+K_1K_2G_1(s)G_2(s)}D(s)$.

📌 Pour minimiser l’influence d’une perturbation, les intégrateurs et l’augmentation du gain de boucle doivent être placés le plus en amont possible dans la chaîne directe.

Compléments

• Pour une perturbation constante, si G1 et G2 sont de type 0, l’erreur finale vaut $-\frac{K_2}{1+K_1K_2}d_0$ ; si G1 est de type 0 et G2 de type 1, elle vaut $-\frac{d_0}{K_1}$ ; si G1 est de type 1 et G2 de type 0, elle est nulle.

📌 Augmenter le gain K améliore la précision mais peut provoquer la saturation des actionneurs, tandis qu’ajouter des intégrateurs peut déstabiliser la boucle fermée.

💡 Astuce mémo

Intégrateur en amont et gain accru → erreur statique réduite

📊 Tableaux de synthèse

Régimes du second ordre