QCM : Réponses temporelles des systèmes linéaires — 23 questions

Question 1

1. Quelle est la différence fondamentale entre l’analyse d’un système et sa commande ?

L’analyse étudie les conditions initiales, tandis que la commande résout l’équation homogène du système.

L’analyse calcule le régime permanent, tandis que la commande calcule exclusivement le régime transitoire.

L’analyse détermine l’entrée à partir de la sortie, tandis que la commande détermine la sortie à partir de l’entrée imposée.

L’analyse détermine la sortie à partir de l’entrée, tandis que la commande détermine l’entrée à partir de la sortie souhaitée.

Explication

L’analyse consiste à calculer la sortie correspondant à une entrée donnée, alors que la commande cherche l’entrée permettant d’obtenir une sortie fixée. Confondre ces démarches revient à inverser leurs données et leurs objectifs.

Answer

L’analyse détermine la sortie à partir de l’entrée, tandis que la commande détermine l’entrée à partir de la sortie souhaitée.

Question 2

2. Pour déterminer la réponse temporelle d’un système soumis à un échelon donné, quelle démarche faut-il appliquer ?

Résoudre l’équation différentielle modélisant le système avec cet échelon comme entrée.

Déterminer la fonction de transfert sans préciser la forme temporelle de l’excitation appliquée.

Calculer une solution indépendante de l’entrée afin de décrire toutes les excitations possibles.

Résoudre l’équation homogène en écartant la contribution particulière liée à l’échelon.

Explication

La réponse temporelle est obtenue en résolvant l’équation différentielle du système pour une entrée déterminée, ici un échelon. Une réponse générique indépendante de l’entrée ne correspond pas à cette définition.

Answer

Résoudre l’équation différentielle modélisant le système avec cet échelon comme entrée.

Question 3

3. Comment s’écrit la solution générale d’une équation différentielle décrivant un système ?

Comme la différence entre la solution particulière et la solution homogène du système.

Comme le produit d’une solution homogène par une solution particulière de l’équation complète.

Comme la somme d’une solution homogène et d’une solution particulière de l’équation complète.

Comme une solution particulière calculée sans tenir compte de l’équation homogène associée.

Explication

La solution générale se décompose en une partie homogène et une partie particulière, soit $y(t)=y_1(t)+y_2(t)$ . La partie homogène ne se multiplie ni ne se soustrait à la solution particulière.

Answer

Comme la somme d’une solution homogène et d’une solution particulière de l’équation complète.

Question 4

4. Dans la décomposition de la sortie dans le domaine de Laplace, quelle expression représente le régime forcé ?

L^{-1}\left(G(s)I(s)\right)

L^{-1}\left(\frac{I(s)}{D(s)}\right)

L^{-1}\left(G(s)U(s)\right)

L^{-1}\left(\frac{U(s)}{D(s)}\right)

Explication

Le régime forcé est la réponse liée à l’entrée et s’écrit $L^{-1}(G(s)U(s))$ . L’expression faisant intervenir $I(s)$ correspond au régime libre issu des conditions initiales.

Answer

$$L^{-1}\left(G(s)U(s)\right)$$

Question 5

5. Quand considère-t-on qu’un régime transitoire est encore présent dans la réponse d’un système ?

Tant que les exponentielles de la réponse ne sont pas considérées comme éteintes.

Après disparition des exponentielles, lorsque seule la composante permanente demeure.

Dès que la sortie atteint une valeur finale, même si les exponentielles varient encore.

Lorsque l’entrée conserve une amplitude constante pendant toute la durée de l’expérience.

Explication

Le régime transitoire subsiste aussi longtemps que les termes exponentiels ne sont pas négligeables. Lorsqu’ils sont éteints, la réponse est considérée comme relevant du régime permanent.

Answer

Tant que les exponentielles de la réponse ne sont pas considérées comme éteintes.

Question 6

6. Que signifie un temps d’établissement à 2 % égal à une certaine valeur pour une réponse entre $y_0$ et $y_\infty$ ?

Après ce temps, la réponse atteint puis reste dans une bande de 2 % de l’écart entre

y_\infty

et

y_0

.

Après ce temps, la réponse atteint 90 % de sa valeur finale sans condition sur sa stabilité ultérieure.

Pendant ce temps, la réponse parcourt exactement 2 % de la différence entre sa valeur initiale et sa valeur finale.

À cet instant, la réponse devient égale à sa valeur finale et ne présente plus aucune variation transitoire.

Explication

Le temps d’établissement à 2 % concerne l’entrée puis le maintien de la réponse dans une bande définie par 2 % de l’écart entre $y_\infty$ et $y_0$ . L’atteinte de 90 % caractérise plutôt le temps de montée.

Answer

Après ce temps, la réponse atteint puis reste dans une bande de 2 % de l’écart entre $$y_\infty$$ et $$y_0$$.

Question 7

7. Dans la fonction de transfert $\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{1+\tau s}$ d’un système du premier ordre, quel rôle joue $\tau$ ?

Elle fixe l’amplitude de l’entrée appliquée au système.

Elle décrit la rapidité de la réponse du système.

Elle correspond à la valeur finale de la sortie en régime permanent.

Elle représente le gain statique entre l’entrée et la sortie.

Explication

Dans cette fonction de transfert, $K$ est le gain statique tandis que $\tau$ est la constante de temps qui caractérise la rapidité de la réponse. Assimiler $\tau$ au gain confond un paramètre dynamique avec un paramètre statique.

Answer

Elle décrit la rapidité de la réponse du système.

Question 8

8. Pour un système du premier ordre soumis à un échelon d’amplitude $A$ avec une condition initiale nulle, quelle réponse obtient-on ?

y(t)=KAe^{-t/\tau}

y(t)=\frac{K}{\tau}A\left(1-e^{-t}\right)

y(t)=KA\left(1-e^{-t/\tau}\right)

y(t)=K\left(1-e^{-t/A}\right)

Explication

Avec $y(0)=0$ , le terme initial $y(0)e^{-t/\tau}$ disparaît de la réponse générale, ce qui donne $y(t)=KA(1-e^{-t/\tau})$ . L’expression purement exponentielle décrit une décroissance et non la montée vers la valeur finale.

Answer

$$y(t)=KA\left(1-e^{-t/\tau}\right)$$

Question 9

9. Pour un système du premier ordre à condition initiale nulle, quelles valeurs caractérisent respectivement l’instant où la réponse atteint environ 63 % de sa valeur finale et le temps d’établissement à 2 % ?

t=4\tau

et environ

\tau

t=\tau

et environ

4\tau

t=2\tau

et environ

3\tau

t=\tau/2

et environ

6\tau

Explication

À $t=\tau$ , le facteur de montée vaut environ 63 %, et le temps d’établissement à 2 % est approximativement $4\tau$ . Les autres couples intervertissent ou modifient ces repères temporels usuels du premier ordre.

Answer

$$t=\tau$$ et environ $$4\tau$$

Question 10

10. Dans la forme normalisée $\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2z\omega_ns+\omega_n^2}$ , quelle interprétation des paramètres est correcte ?

K

est une pulsation,

\omega_n

le gain statique et

z

un coefficient de pulsation

K

est le coefficient d’amortissement,

\omega_n

le gain statique et

z

une pulsation

K

est une pulsation propre,

\omega_n

un coefficient sans dimension et

z

le gain statique

K

est le gain statique,

\omega_n

une pulsation et

z

un coefficient sans dimension de pulsation

Explication

Dans cette forme normalisée, $K$ représente le gain statique, $\omega_n$ la pulsation propre non amortie et $z$ le coefficient d’amortissement. Confondre $\omega_n$ avec un coefficient sans dimension inverse les rôles physiques des paramètres.

Answer

$$K$$ est le gain statique, $$\omega_n$$ une pulsation et $$z$$ un coefficient sans dimension de pulsation

Question 11

11. Quel comportement caractérise un système du second ordre lorsque le coefficient d’amortissement vérifie $z<1$ ?

Ses pôles sont complexes à parties réelles négatives et sa réponse est oscillante

Ses pôles sont réels négatifs doubles et sa réponse est apériodique

Ses pôles ont une partie réelle positive et sa réponse diverge

Ses pôles sont réels négatifs distincts et sa réponse est apériodique

Explication

Pour $z<1$ , les pôles sont complexes conjugués avec des parties réelles négatives, ce qui produit une réponse oscillante amortie. Les pôles réels distincts ou doubles correspondent aux cas apériodiques.

Answer

Ses pôles sont complexes à parties réelles négatives et sa réponse est oscillante

Question 12

12. Un système du second ordre sous-amorti possède $\omega_n=10\ \mathrm{rad/s}$ et $z=0{,}6$ . Quelle est la pulsation de ses oscillations ?

8\ \mathrm{rad/s}

10\ \mathrm{rad/s}

12{,}5\ \mathrm{rad/s}

6\ \mathrm{rad/s}

Explication

Pour un système sous-amorti, on utilise $\omega_p=\omega_n\sqrt{1-z^2}$ , soit $10\sqrt{1-0{,}6^2}=8\ \mathrm{rad/s}$ . La valeur $6\ \mathrm{rad/s}$ correspondrait à une multiplication directe par le coefficient d’amortissement.

Answer

$$8\ \mathrm{rad/s}$$

Question 13

13. Pourquoi un système possédant un pôle dont la partie réelle est positive est-il instable ?

Un pôle réel double impose une réponse apériodique sans divergence

Des pôles complexes à parties négatives provoquent des oscillations amorties

Une exponentielle négative accélère la disparition de toutes les composantes

Une exponentielle positive apparaît dans la réponse et celle-ci diverge

Explication

Une partie réelle positive dans un pôle engendre une exponentielle positive dans la réponse temporelle, qui croît et entraîne la divergence du système. Les exponentielles négatives et les pôles complexes à parties réelles négatives sont associés à des comportements stables.

Answer

Une exponentielle positive apparaît dans la réponse et celle-ci diverge

Question 14

14. Dans un système stable, quels pôles dominent généralement la dynamique et le temps de réponse ?

Les pôles les plus à gauche dans le demi-plan gauche, car ils sont les plus lents

Les pôles les plus proches de l’axe imaginaire, car ils s’éteignent plus rapidement

Les pôles les plus à droite dans le demi-plan gauche, car ils sont les plus lents

Les pôles de plus grande partie imaginaire, car ils fixent directement le gain statique

Explication

Dans le demi-plan gauche, les pôles les plus à droite ont des parties réelles négatives de faible module et leurs composantes décroissent plus lentement. Les pôles plus à gauche s’éteignent plus rapidement et influencent généralement moins le temps de réponse.

Answer

Les pôles les plus à droite dans le demi-plan gauche, car ils sont les plus lents

Question 15

15. Quels sont les trois critères principaux utilisés pour évaluer les performances d’un système ?

La consigne, la sortie et l’erreur de mesure

Le gain, la pulsation propre et l’amortissement

Le dépassement, le temps de pic et la marge de phase

La stabilité, la précision et la rapidité

Explication

Les trois critères principaux sont la stabilité, la précision et la rapidité. Le dépassement et le temps de pic sont plutôt des indicateurs temporels utilisés pour caractériser certaines performances.

Answer

La stabilité, la précision et la rapidité

Question 16

16. Comment la précision d’un système est-elle évaluée en régime permanent ?

Par la position du pôle dominant dans le demi-plan gauche

Par la valeur finale de l’erreur entre la consigne et la sortie

Par la durée nécessaire pour atteindre 90 % de la valeur finale

Par la valeur maximale du dépassement au cours de la réponse

Explication

La précision se mesure en régime permanent à partir de la valeur finale de l’erreur entre la consigne et la sortie. Le temps nécessaire pour atteindre 90 % de la valeur finale décrit plutôt la rapidité.

Answer

Par la valeur finale de l’erreur entre la consigne et la sortie

Question 17

17. Pour une erreur dont la transformée de Laplace est $\epsilon(s)=\frac{1}{s+2}$ , quelle est l’erreur finale selon le théorème de la valeur finale ?

\epsilon_\infty=0

\epsilon_\infty=2

\epsilon_\infty=1

\epsilon_\infty=\frac{1}{2}

Explication

Le théorème donne $\epsilon_\infty=\lim_{s\to0}s\epsilon(s)=\lim_{s\to0}\frac{s}{s+2}=0$ . La valeur $\frac{1}{2}$ correspond à la limite de $\epsilon(s)$ elle-même en zéro, et non à l’erreur finale.

Answer

$$\epsilon_\infty=0$$

Question 18

18. Dans une boucle fermée, quelle expression donne l’erreur en fonction de la consigne et du gain de boucle ?

\epsilon(s)=Y_c(s)\left[1+KG_1(s)G_2(s)\right]

\epsilon(s)=\frac{KG_1(s)G_2(s)}{Y_c(s)}

\epsilon(s)=\frac{Y_c(s)}{1+KG_1(s)G_2(s)}

\epsilon(s)=\frac{Y_c(s)}{KG_1(s)G_2(s)}

Explication

L’erreur est obtenue en divisant la consigne par un plus le gain de boucle, ce qui montre l’influence de ce gain sur la précision. La sortie seule ne suffit pas à caractériser l’erreur, car elle ne fait pas apparaître directement le dénominateur de boucle fermée.

Answer

$$\epsilon(s)=\frac{Y_c(s)}{1+KG_1(s)G_2(s)}$$

Question 19

19. Une boucle stable de type 0 reçoit une consigne échelon d’amplitude $e_0=2$ , avec un gain statique de boucle $K=9$ . Quelle est l’erreur finale ?

0{,}2

0{,}22

2

1{,}8

Explication

Pour un système de type 0, l’erreur finale est $\epsilon_\infty=\frac{e_0}{1+K}=\frac{2}{10}=0{,}2$ . La valeur $0{,}22$ résulterait d’un calcul approché incorrect du dénominateur.

Answer

Lorsque la boucle fermée reste stable

Answer

Une erreur constante égale à $$\frac{\omega_0}{K}$$

Answer

$$\epsilon(s)=-\frac{K_2G_2(s)}{1+K_1K_2G_1(s)G_2(s)}D(s)$$

Answer

En amont du point où la perturbation est introduite

Question 20

20. Sous quelle condition un système de type au moins 1 annule-t-il l’erreur finale face à une consigne échelon ?

Lorsque la consigne est remplacée par une rampe

Lorsque le gain statique de boucle est nul

Lorsque le système ne contient aucun intégrateur

Lorsque la boucle fermée reste stable

Explication

Un système de type au moins 1 contient un intégrateur pur, ce qui conduit à une erreur finale nulle pour un échelon si la boucle fermée est stable. L’intégrateur ne garantit donc pas ce résultat en cas d’instabilité.

Question 21

21. Pour une consigne rampe de pente $\omega_0$ , quelle erreur finale obtient-on avec un système stable de type 1 ?

Une erreur constante égale à

K\omega_0

Une erreur constante égale à

\frac{\omega_0}{K}

Une erreur nulle quelle que soit la pente

Une erreur divergente lorsque le temps augmente

Explication

Un système de type 1 suit une rampe avec une erreur finale constante $\frac{\omega_0}{K}$ . L’erreur divergente correspond au type 0, tandis que l’erreur nulle correspond au type au moins 2.

Question 22

22. Pour une perturbation $D(s)$ , quel transfert relie cette perturbation à l’erreur dans la boucle étudiée ?

\epsilon(s)=-\frac{K_2G_2(s)}{1+K_1K_2G_1(s)G_2(s)}D(s)

\epsilon(s)=\frac{K_1G_1(s)}{1+K_1K_2G_1(s)G_2(s)}D(s)

\epsilon(s)=\frac{1+K_1K_2G_1(s)G_2(s)}{K_2G_2(s)}D(s)

\epsilon(s)=-\frac{1+K_1K_2G_1(s)G_2(s)}{K_1G_1(s)}D(s)

Explication

La perturbation agit sur l’erreur par un transfert négatif dont le numérateur contient $K_2G_2(s)$ et dont le dénominateur est celui de la boucle fermée. Le transfert de suivi de la consigne possède une structure différente et ne doit pas être utilisé ici.

Question 23

23. Pour réduire l’influence d’une perturbation introduite dans la chaîne directe, où faut-il placer de préférence les intégrateurs et l’augmentation du gain de boucle ?

En amont du point où la perturbation est introduite

Dans la chaîne de retour après le comparateur

À la sortie, entre le procédé et le capteur

En aval du point où la perturbation est introduite

Explication

Placer les intégrateurs et un gain de boucle élevé en amont de la perturbation réduit davantage son influence sur l’erreur. Un intégrateur situé après la perturbation ne l’atténue pas de la même manière, car la perturbation a déjà pénétré dans la chaîne directe.

QCM : Réponses temporelles des systèmes linéaires — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la différence fondamentale entre l’analyse d’un système et sa commande ?

2. Pour déterminer la réponse temporelle d’un système soumis à un échelon donné, quelle démarche faut-il appliquer ?

3. Comment s’écrit la solution générale d’une équation différentielle décrivant un système ?

4. Dans la décomposition de la sortie dans le domaine de Laplace, quelle expression représente le régime forcé ?

5. Quand considère-t-on qu’un régime transitoire est encore présent dans la réponse d’un système ?

6. Que signifie un temps d’établissement à 2 % égal à une certaine valeur pour une réponse entre $y_0$ et $y_\infty$ ?

7. Dans la fonction de transfert $\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{1+\tau s}$ d’un système du premier ordre, quel rôle joue $\tau$ ?

8. Pour un système du premier ordre soumis à un échelon d’amplitude $A$ avec une condition initiale nulle, quelle réponse obtient-on ?

9. Pour un système du premier ordre à condition initiale nulle, quelles valeurs caractérisent respectivement l’instant où la réponse atteint environ 63 % de sa valeur finale et le temps d’établissement à 2 % ?

10. Dans la forme normalisée $\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2z\omega_ns+\omega_n^2}$ , quelle interprétation des paramètres est correcte ?

11. Quel comportement caractérise un système du second ordre lorsque le coefficient d’amortissement vérifie $z<1$ ?

12. Un système du second ordre sous-amorti possède $\omega_n=10\ \mathrm{rad/s}$ et $z=0{,}6$ . Quelle est la pulsation de ses oscillations ?

13. Pourquoi un système possédant un pôle dont la partie réelle est positive est-il instable ?

14. Dans un système stable, quels pôles dominent généralement la dynamique et le temps de réponse ?

15. Quels sont les trois critères principaux utilisés pour évaluer les performances d’un système ?

16. Comment la précision d’un système est-elle évaluée en régime permanent ?

17. Pour une erreur dont la transformée de Laplace est $\epsilon(s)=\frac{1}{s+2}$ , quelle est l’erreur finale selon le théorème de la valeur finale ?

18. Dans une boucle fermée, quelle expression donne l’erreur en fonction de la consigne et du gain de boucle ?

19. Une boucle stable de type 0 reçoit une consigne échelon d’amplitude $e_0=2$ , avec un gain statique de boucle $K=9$ . Quelle est l’erreur finale ?

20. Sous quelle condition un système de type au moins 1 annule-t-il l’erreur finale face à une consigne échelon ?

21. Pour une consigne rampe de pente $\omega_0$ , quelle erreur finale obtient-on avec un système stable de type 1 ?

22. Pour une perturbation $D(s)$ , quel transfert relie cette perturbation à l’erreur dans la boucle étudiée ?

23. Pour réduire l’influence d’une perturbation introduite dans la chaîne directe, où faut-il placer de préférence les intégrateurs et l’augmentation du gain de boucle ?

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QCM : Réponses temporelles des systèmes linéaires — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la différence fondamentale entre l’analyse d’un système et sa commande ?

2. Pour déterminer la réponse temporelle d’un système soumis à un échelon donné, quelle démarche faut-il appliquer ?

3. Comment s’écrit la solution générale d’une équation différentielle décrivant un système ?

4. Dans la décomposition de la sortie dans le domaine de Laplace, quelle expression représente le régime forcé ?

5. Quand considère-t-on qu’un régime transitoire est encore présent dans la réponse d’un système ?

6. Que signifie un temps d’établissement à 2 % égal à une certaine valeur pour une réponse entre y0y_0y0​ et y∞y_\inftyy∞​ ?

7. Dans la fonction de transfert Y(s)U(s)=K1+τs\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{1+\tau s}U(s)Y(s)​=1+τsK​ d’un système du premier ordre, quel rôle joue τ\tauτ ?

8. Pour un système du premier ordre soumis à un échelon d’amplitude AAA avec une condition initiale nulle, quelle réponse obtient-on ?

9. Pour un système du premier ordre à condition initiale nulle, quelles valeurs caractérisent respectivement l’instant où la réponse atteint environ 63 % de sa valeur finale et le temps d’établissement à 2 % ?

10. Dans la forme normalisée Y(s)U(s)=Kωn2s2+2zωns+ωn2\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2z\omega_ns+\omega_n^2}U(s)Y(s)​=s2+2zωn​s+ωn2​Kωn2​​, quelle interprétation des paramètres est correcte ?

11. Quel comportement caractérise un système du second ordre lorsque le coefficient d’amortissement vérifie z<1z<1z<1 ?

12. Un système du second ordre sous-amorti possède ωn=10 rad/s\omega_n=10\ \mathrm{rad/s}ωn​=10 rad/s et z=0,6z=0{,}6z=0,6. Quelle est la pulsation de ses oscillations ?

13. Pourquoi un système possédant un pôle dont la partie réelle est positive est-il instable ?

14. Dans un système stable, quels pôles dominent généralement la dynamique et le temps de réponse ?

15. Quels sont les trois critères principaux utilisés pour évaluer les performances d’un système ?

16. Comment la précision d’un système est-elle évaluée en régime permanent ?

17. Pour une erreur dont la transformée de Laplace est ϵ(s)=1s+2\epsilon(s)=\frac{1}{s+2}ϵ(s)=s+21​, quelle est l’erreur finale selon le théorème de la valeur finale ?

18. Dans une boucle fermée, quelle expression donne l’erreur en fonction de la consigne et du gain de boucle ?

19. Une boucle stable de type 0 reçoit une consigne échelon d’amplitude e0=2e_0=2e0​=2, avec un gain statique de boucle K=9K=9K=9. Quelle est l’erreur finale ?

20. Sous quelle condition un système de type au moins 1 annule-t-il l’erreur finale face à une consigne échelon ?

21. Pour une consigne rampe de pente ω0\omega_0ω0​, quelle erreur finale obtient-on avec un système stable de type 1 ?

22. Pour une perturbation D(s)D(s)D(s), quel transfert relie cette perturbation à l’erreur dans la boucle étudiée ?

23. Pour réduire l’influence d’une perturbation introduite dans la chaîne directe, où faut-il placer de préférence les intégrateurs et l’augmentation du gain de boucle ?

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6. Que signifie un temps d’établissement à 2 % égal à une certaine valeur pour une réponse entre $y_0$ et $y_\infty$ ?

7. Dans la fonction de transfert $\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{1+\tau s}$ d’un système du premier ordre, quel rôle joue $\tau$ ?

8. Pour un système du premier ordre soumis à un échelon d’amplitude $A$ avec une condition initiale nulle, quelle réponse obtient-on ?

10. Dans la forme normalisée $\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2z\omega_ns+\omega_n^2}$ , quelle interprétation des paramètres est correcte ?

11. Quel comportement caractérise un système du second ordre lorsque le coefficient d’amortissement vérifie $z<1$ ?

12. Un système du second ordre sous-amorti possède $\omega_n=10\ \mathrm{rad/s}$ et $z=0{,}6$ . Quelle est la pulsation de ses oscillations ?

17. Pour une erreur dont la transformée de Laplace est $\epsilon(s)=\frac{1}{s+2}$ , quelle est l’erreur finale selon le théorème de la valeur finale ?

19. Une boucle stable de type 0 reçoit une consigne échelon d’amplitude $e_0=2$ , avec un gain statique de boucle $K=9$ . Quelle est l’erreur finale ?

21. Pour une consigne rampe de pente $\omega_0$ , quelle erreur finale obtient-on avec un système stable de type 1 ?

22. Pour une perturbation $D(s)$ , quel transfert relie cette perturbation à l’erreur dans la boucle étudiée ?