QCM : Polynômes du second degré — 23 questions

Explication

Une fonction du second degré possède la forme $ax^2+bx+c$ et son coefficient quadratique doit être non nul. Une expression affine comme $ax+b$ n’a pas de terme en $x^2$ et n’est donc pas du second degré.

Explication

La fonction $p(x)=5x-3$ est affine, car son degré est un. Les autres expressions comportent un terme en $x^2$ dont le coefficient est non nul.

Explication

Une égalité valable pour tout $x$ équivaut à l’égalité de tous les coefficients correspondants. Une valeur commune en un seul point ou un même degré ne suffit pas à établir cette égalité.

Explication

La forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$, où $a$ est non nul et où $x_1,x_2$ sont des nombres fixés. L’écriture met en évidence les deux facteurs associés aux racines.

Explication

Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs s’annule, donc $x-2=0$ ou $x+5=0$. Les racines sont ainsi $2$ et $-5$, tandis que le facteur $3$ ne fournit pas une racine.

Explication

Les relations de Viète donnent $x_1+x_2=-b/a$ et $x_1x_2=c/a$. Ici, elles deviennent $-(-10)/2=5$ et $12/2=6$; la somme et le produit ne doivent donc pas être intervertis.

Explication

On teste d’abord des valeurs simples jusqu’à trouver $x_1$ tel que $f(x_1)=0$, puis on pose une factorisation et on identifie l’autre facteur par comparaison. Le coefficient introduit dans ce second facteur n’est pas une racine avant sa détermination et sa vérification.

Explication

La différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Les expressions $(a-b)^2$ et $(a+b)^2$ contiennent en plus un terme croisé en $ab$.

Explication

Un polynôme du second degré peut admettre au plus deux racines réelles. Une équation de degré supérieur peut avoir davantage de racines, mais ce n’est pas le cas ici.

Explication

Une racine double désigne une racine réelle unique qui apparaît avec une multiplicité deux. Elle se distingue donc de deux racines distinctes, qui sont deux nombres différents.

Explication

Le discriminant se calcule par $\Delta=b^2-4ac$. L’expression $-\frac{b}{2a}$ intervient dans la détermination du sommet ou de la racine double, mais ne définit pas le discriminant.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, les formules donnent deux valeurs réelles différentes, $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. La racine double correspond au cas $\Delta=0$.

Explication

Pour $\Delta=0$, les deux solutions coïncident en $x_0=-\frac{b}{2a}$, qui est donc une racine double. Le cas de deux racines distinctes correspond à $\Delta>0$.

Explication

Un discriminant strictement négatif signifie que le trinôme ne possède aucune racine réelle. La valeur $-\frac{b}{2a}$ donne une racine double dans le cas $\Delta=0$, pas lorsque $\Delta<0$.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, le trinôme possède une racine double $x_0$ et s’écrit donc $a(x-x_0)^2$. La forme avec deux facteurs distincts correspond au cas $\Delta>0$.

Explication

Si $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune racine réelle et ne possède donc pas de forme factorisée dans $\mathbb{R}$. Le carré parfait apparaît lorsque $\Delta=0$, tandis que deux facteurs réels distincts apparaissent lorsque $\Delta>0$.

Explication

La courbe représentative d’un trinôme du second degré est une parabole et elle admet un axe de symétrie. Une droite, un cercle ou une hyperbole ne décrivent pas la représentation générale d’un tel trinôme.

Explication

Lorsque $a<0$, la parabole est tournée vers le bas, donc sa valeur au sommet est un maximum. Le minimum correspond au cas $a>0$, lorsque la parabole est tournée vers le haut.

Explication

L’axe de symétrie est la droite verticale d’équation $x=-\frac{b}{2a}$. Une expression en $y$ décrirait une droite horizontale, et le signe positif ne correspond pas à la formule du trinôme.

Explication

L’abscisse du sommet est celle de l’axe de symétrie, soit $-\frac{b}{2a}$, et son ordonnée est l’image de cette valeur par la fonction. La confusion fréquente consiste à changer le signe ou à inverser les coordonnées.

Explication

Avec deux racines distinctes, le trinôme a le signe de $a$ sur les intervalles extérieurs et le signe opposé entre les racines. Le signe ne devient pas nul sur des intervalles, car il s’annule seulement aux racines.

Explication

Pour $\Delta=0$, le trinôme possède une racine double et conserve le signe de $a$ ailleurs, tandis que sa valeur est nulle à cette racine. Un changement de signe et deux racines distinctes correspondent au cas $\Delta>0$.

Explication

La méthode consiste à déterminer les coefficients, le discriminant et les racines éventuelles, puis à organiser les racines et les signes avant de vérifier avec une valeur simple. Les autres démarches omettent le calcul des racines ou attribuent les signes sans utiliser le discriminant.