Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et coefficients
2. Racines et forme factorisée
3. Méthodes de factorisation
4. Nombre de racines
5. Discriminant et racines
6. Forme factorisée et discriminant
7. Parabole et sommet
8. Tableau de signes et inéquations

📖 1. Définition et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 La fonction $p(x)=5x-3$ est affine et $h(x)=x^3-2x^2+2$ est de degré 3 ; ni l’une ni l’autre n’est un polynôme du second degré.

📌 Deux polynômes sont égaux pour tout x si et seulement si leurs coefficients correspondants sont égaux.

Compléments

• Dans $g(x)=3x^2-4x+7$, les coefficients sont $a=3$, $b=-4$ et $c=7$.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : Polynôme du second degré qui s’écrit, pour tout réel x, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$, alors les seules racines de f sont x₁ et x₂.

📐 Formule — Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ de racines x₁ et x₂, on a $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.