Fiche de révision : Polynômes du second degré et factorisation

📋 Plan du Cours

1. Polynômes du second degré
2. Racines et factorisation
3. Somme et produit des racines
4. Forme canonique et discriminant
5. Résolution des équations du second degré
6. Factorisation selon le discriminant

📖 1. Polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré est une fonction P définie sur ℝ de la forme P(x)=ax^2+bx+c avec a≠0.
• Trinôme : Un trinôme désigne l’expression développée ax^2+bx+c d’un polynôme du second degré.
• Racine d’un polynôme : Une racine d’un polynôme P est un réel x tel que P(x)=0.

📝 Points essentiels

• Un polynôme du second degré admet au plus deux racines réelles distinctes car c’est un produit de deux facteurs linéaires possibles.
• Si P(x)=(2x−1)(x+2), alors P(x)=2x^2+3x−2 et les racines sont 1/2 et −2.
• Si x est une racine de P, alors le facteur (x−x1) divise P(x).

💡 Astuce mémo

P(x)=ax^2+bx+c : un polynôme = 3 termes, et a≠0 pour garder le carré.

📖 2. Racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation par une racine : Si x1 est une racine de P(x)=ax^2+bx+c, alors P(x) se factorise avec le facteur (x−x1).
• Forme factorisée : Une forme factorisée d’un polynôme du second degré écrit P(x) comme un produit de facteurs, souvent linéaires.
• Racines x1 et x2 : Pour un polynôme du second degré ayant deux racines x1 et x2, la factorisation s’exprime directement à partir de ces valeurs.

📝 Points essentiels

• Si x1 est une racine de P, alors P(x)=(x−x1)(ax+d) avec d réel.
• Si P admet deux racines x1 et x2, alors P(x)=a(x−x1)(x−x2).
• Pour P(x)=2x^2−6x+4, comme P(1)=0 et P(2)=0, on a P(x)=2(x−1)(x−2).
• Une factorisation avec deux facteurs linéaires produit au plus deux racines réelles pour un polynôme du second degré.

💡 Astuce mémo

Racine → facteur : P(x1)=0 signifie que (x−x1) est un facteur de P.

📖 3. Somme et produit des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des racines : Pour P(x)=ax^2+bx+c avec deux racines x1 et x2, la somme vérifie x1+x2=−b/a.
• Produit des racines : Pour P(x)=ax^2+bx+c avec deux racines x1 et x2, le produit vérifie x1x2=c/a.
• Identification des coefficients : On obtient les relations sur x1+x2 et x1x2 en développant a(x−x1)(x−x2) puis en identifiant avec ax^2+bx+c.

📝 Points essentiels

• Si P(x)=a(x−x1)(x−x2), alors le coefficient de x est −a(x1+x2), d’où x1+x2=−b/a.
• En développant la factorisation, le terme constant vaut ax1x2, d’où x1x2=c/a.
• Les formules x1+x2=−b/a et x1x2=c/a reposent sur l’égalité P(x)=ax^2+bx+c après développement.
• Ces relations utilisent uniquement a,b,c sans calculer les racines directement.

💡 Astuce mémo

Somme = opposé du milieu / Produit = constant sur a : −b/a et c/a.

📖 4. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Une fonction polynôme du second degré P(x)=ax^2+bx+c peut s’écrire P(x)=a(x−α)^2+β.
• Paramètres α et β : Dans la forme canonique, α et β sont choisis pour que l’égalité avec ax^2+bx+c soit exacte.
• Discriminant Δ : Le discriminant Δ est le réel Δ=b^2−4ac associé au trinôme ax^2+bx+c.

📝 Points essentiels

• Il existe α et β réels tels que P(x)=a(x−α)^2+β pour tout trinôme avec a≠0.
• On a α=−b/(2a) et β=−Δ/(4a) dans la forme canonique.
• Le discriminant est Δ=b^2−4ac et il intervient sous la forme P(x)=a(x+ b/(2a))^2−Δ/(4a).
• Dans l’exemple P(x)=x^2+4x−6, on trouve Δ=40 puis α=−2 et β=−10, ce qui donne P(x)=(x+2)^2−10.
• Pour décider le nombre de solutions réelles, le signe de Δ suffit via la forme canonique.

💡 Astuce mémo

Δ=b^2−4ac : le signe de Δ décide “0, 1, ou 2 racines réelles”.

📖 5. Résolution des équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Résoudre ax^2+bx+c=0 revient à trouver tous les réels x tels que le polynôme P(x)=ax^2+bx+c s’annule.
• Solution double : Une solution double est une racine unique de multiplicité 2 quand le discriminant vaut 0.
• Deux solutions distinctes : Quand le discriminant est positif, l’équation possède deux racines réelles différentes.

📝 Points essentiels

• On calcule Δ=b^2−4ac puis on compare Δ à 0 pour conclure sur le nombre de solutions réelles.
• Si Δ<0, l’équation n’a aucune solution dans ℝ.
• Si Δ=0, l’équation admet une solution double x0=−b/(2a).
• Si Δ>0, les solutions sont x1=(−b−√Δ)/(2a) et x2=(−b+√Δ)/(2a).
• La résolution via la forme canonique revient à résoudre (x+b/(2a))^2=Δ/(4a).
• Pour un trinôme incomplet, on peut utiliser une factorisation par mise en évidence plutôt que les formules générales (exemple x^2−4x=0).

💡 Astuce mémo

Même calcul : Δ, puis formules en ±√Δ sur 2a.

📖 6. Factorisation selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant négatif : Quand Δ<0, le polynôme ne peut pas se factoriser en produit de deux facteurs linéaires réels.
• Discriminant nul : Quand Δ=0, le polynôme se factorise en un carré d’un facteur linéaire.
• Discriminant positif : Quand Δ>0, le polynôme se factorise en produit de deux facteurs linéaires distincts.

📝 Points essentiels

• Si Δ<0, P(x) ne se factorise pas sous la forme a(x−r1)(x−r2) avec r1,r2 réels.
• Si Δ=0, P(x)=a(x−x0)^2 où x0 est l’unique racine.
• Si Δ>0, P(x)=a(x−x1)(x−x2) où x1 et x2 sont les deux racines réelles.
• Le signe de Δ correspond directement au nombre de solutions réelles de l’équation P(x)=0.
• Les factorisations issues de Δ utilisent le même x0,x1,x2 que la résolution de ax^2+bx+c=0.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : pas de split réel ; Δ=0 : carré ; Δ>0 : produit de deux linéaires.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre racine (solution de P(x)=0) et valeur de α ou β : seules les racines rendent P(x) nul.
2. Oublier que a≠0 pour un polynôme du second degré, ce qui conditionne les formules (notamment pour 2a au dénominateur).
3. Se tromper de signe dans Δ=b^2−4ac ou dans x0=−b/(2a) et dans les formules (−b±√Δ)/(2a).
4. Interpréter Δ>0 comme “une seule solution” au lieu de deux solutions distinctes.
5. Utiliser les formules générales alors qu’une factorisation évidente (trinôme incomplet) suffit, ce qui peut mener à des erreurs de calcul.
6. Croire que Δ sert uniquement à résoudre les équations, alors qu’il pilote aussi la possibilité de factoriser selon trois cas.

✅ Checklist Examen

1. Définir un polynôme du second degré et préciser la condition a≠0.
2. Identifier une racine comme un réel x tel que P(x)=0.
3. Factoriser P(x) en utilisant un facteur (x−x1) dès qu’on connaît une racine.
4. Factoriser P(x)=ax^2+bx+c en a(x−x1)(x−x2) quand deux racines sont données.
5. Donner les formules de somme des racines x1+x2=−b/a et de produit x1x2=c/a.
6. Passer à la forme canonique P(x)=a(x−α)^2+β et calculer α=−b/(2a) et β=−Δ/(4a).
7. Calculer le discriminant Δ=b^2−4ac à partir des coefficients a,b,c.
8. Résoudre ax^2+bx+c=0 en distinguant Δ<0, Δ=0, Δ>0.
9. Donner la solution double x0=−b/(2a) quand Δ=0.
10. Donner les deux solutions x1=(−b−√Δ)/(2a) et x2=(−b+√Δ)/(2a) quand Δ>0.
11. Utiliser la correspondance entre le signe de Δ et la factorisation : pas de factorisation réelle pour Δ<0, carré pour Δ=0, produit de deux facteurs pour Δ>0.
12. Choisir une forme adaptée (factorisée, développée, canonique) pour résoudre un problème lié à P(x)=0 ou à l’annulation de P(x).