P(x)=ax^2+bx+c avec a≠0
Explication
Un polynôme du second degré s’écrit sous la forme ax^2+bx+c avec a non nul. Si a était nul, il ne resterait plus de terme en x^2.
Un réel x tel que P(x)=0
Explication
Une racine est précisément une valeur réelle qui annule le polynôme. Les autres propositions décrivent un coefficient, une intersection graphique ou une mauvaise condition.
(x-x1)
Explication
Quand x1 est une racine, le facteur associé est bien (x-x1). C’est la traduction de P(x1)=0 en langage factorisé.
P(x)=a(x-x1)(x-x2)
Explication
Avec deux racines réelles distinctes, le polynôme se factorise en produit de deux facteurs linéaires. Le coefficient a reste devant le produit.
x1+x2=-b/a
Explication
La somme des racines vaut l’opposé du coefficient de x divisé par celui de x^2. Ici, c’est donc -b/a.
x1x2=c/a
Explication
Le produit des racines est égal au terme constant divisé par le coefficient de x^2. Cela donne c/a.
P(x)=a(x-α)^2+β
Explication
La forme canonique s’écrit toujours sous la forme a(x-α)^2+β. Elle met en évidence le sommet de la parabole.
Δ=b^2-4ac
Explication
Le discriminant est défini par Δ=b^2-4ac. C’est lui qui permet ensuite d’étudier le nombre de solutions réelles.
Elle n’a aucune solution réelle
Explication
Si Δ<0, il n’existe aucune racine réelle. Les autres cas correspondent à Δ=0 ou Δ>0.
x1=(-b-√Δ)/(2a) et x2=(-b+√Δ)/(2a)
Explication
Quand Δ>0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes données par les formules avec ±√Δ sur 2a. La solution double n’apparaît que lorsque Δ=0.
a(x−x1)(x−x2) avec deux racines réelles distinctes
Explication
Lorsque Δ>0, l’équation admet deux racines réelles distinctes et le trinôme se factorise sous la forme a(x−x1)(x−x2). La forme au carré correspond au cas Δ=0, pas au cas Δ>0.
Il ne se factorise pas en produit de deux facteurs linéaires réels
Explication
Si Δ<0, le trinôme n’a aucune racine réelle et ne peut donc pas être écrit comme produit de deux facteurs linéaires réels. Le cas du carré d’un facteur linéaire correspond au discriminant nul.
Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Polynômes du second degré et factorisation.
Polynôme du second degré — définition ?
Fonction de la forme ax^2+bx+c avec a≠0.
Racine d’un polynôme — rôle ?
Valeur x telle que P(x)=0.
Factorisation — principe ?
Exprimer P(x) en produit de facteurs linéaires.
Consultez la fiche de révision complète sur Polynômes du second degré et factorisation.
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