Fiche de révision : Polynômes du second degré et suites

📋 Plan du Cours

1. Racines et formes du polynôme
2. Forme canonique et variations
3. Suites numériques et récurrence

📖 1. Racines et formes du polynôme

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des racines d'un polynôme du second degré vérifie $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule - Le produit des racines d'un polynôme du second degré vérifie $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

• Un polynôme du second degré peut s'écrire sous trois formes : la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ et la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📐 Formule - Les identités remarquables sont $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ et $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

Compléments

• Une racine évidente peut être égale à $x_1=1$.

💡 Astuce mémo

S pour Somme, P pour Produit

📖 2. Forme canonique et variations

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on a $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

• La parabole possède un axe de symétrie d'équation $x=\alpha$.

📌 Si $a<0$, la fonction admet un maximum égal à β atteint pour $x=\alpha$, tandis que si $a>0$, elle admet un minimum égal à β atteint pour $x=\alpha$.

Compléments

• Pour étudier les variations de f, on repère d'abord $\alpha$, puis on utilise le signe de a pour déterminer si la parabole atteint un maximum ou un minimum en $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a → le maximum ou le minimum

📖 3. Suites numériques et récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste notée $(u_n)$.
• Forme explicite : Donne la suite $u_n$ en fonction de $n$.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence permet de calculer le terme $(n+1)$ à l'aide du terme précédent $(n)$ et nécessite le premier terme.

💡 Astuce mémo

Forme explicite : n directement ; récurrence : terme précédent

📊 Tableaux de synthèse

Formes du polynôme du second degré