Flashcards : Polynômes et expressions rationnelles (59 cartes)

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1Question

Comment développer le carré d’une somme ?

Réponse

$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

2Question

Comment développer le carré d’une différence ?

Réponse

$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$

3Question

Comment développer le produit d’une somme et de sa différence ?

Réponse

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

4Question

Quelle propriété permet de multiplier des polynômes contenant des sommes ou des différences ?

Réponse

La distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction.

5Question

Comment multiplier trois polynômes successivement ?

Réponse

On multiplie d’abord deux polynômes, puis leur produit par le troisième.

6Question

À quelle condition peut-on diviser un polynôme par un binôme ?

Réponse

Le binôme diviseur doit être non nul.

7Question

Que sont le diviseur et le quotient si le reste d’une division polynomiale est nul ?

Réponse

Des facteurs du polynôme divisé.

8Question

Qu’est-ce que la factorisation d’un polynôme ?

Réponse

L’exprimer comme un produit de facteurs de degré inférieur à celui du polynôme de départ.

9Question

En quoi consiste la mise en évidence simple ?

Réponse

Faire ressortir un facteur commun à tous les termes du polynôme.

10Question

Quelle est la première étape de la double mise en évidence ?

Réponse

Regrouper les termes.

11Question

Que produit la factorisation d’une différence de carrés ?

Réponse

Deux binômes conjugués.

12Question

Qu’est-ce qu’une expression rationnelle ?

Réponse

Une expression algébrique sous forme de rapport de polynômes.

13Question

Quelles sont les étapes pour simplifier une expression rationnelle ?

Réponse

Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis réduire les facteurs communs.

14Question

Quelles valeurs les restrictions d’une expression rationnelle excluent-elles ?

Réponse

Les valeurs qui annulent son dénominateur initial.

15Question

Que faut-il décomposer en facteurs au début d’une multiplication d’expressions rationnelles ?

Réponse

Les numérateurs et les dénominateurs.

16Question

Comment détermine-t-on les restrictions de la variable lors d’une multiplication d’expressions rationnelles ?

Réponse

On exclut les valeurs qui annulent les dénominateurs initiaux.

17Question

Quelles sont les étapes pour multiplier des expressions rationnelles ?

Réponse

Factoriser les numérateurs et les dénominateurs, poser les restrictions, puis simplifier les facteurs communs.

18Question

Par quoi multiplie-t-on le diviseur dans une division d’expressions rationnelles ?

Réponse

Par son inverse multiplicatif.

19Question

Quelle est la première étape pour additionner ou soustraire des expressions rationnelles ?

Réponse

Factoriser les dénominateurs.

20Question

Que fait-on après avoir factorisé les dénominateurs d’expressions rationnelles à additionner ?

Réponse

On trouve le plus petit dénominateur commun.

21Question

Quelles valeurs sont solutions d’une équation du second degré à une variable ?

Réponse

Les valeurs de la variable qui vérifient l’équation.

22Question

Que deviennent les solutions après avoir factorisé une équation quadratique en produit nul ?

Réponse

Ce sont les valeurs de $x$ qui annulent l’un des facteurs.

23Question

Quelle formule donne les solutions de $ax^2+bx+c=0$ ?

Réponse

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

24Question

Quelle expression forme le discriminant d’une équation quadratique ?

Réponse

$b^2-4ac$ , notée $\Delta$ .

25Question

Combien de solutions réelles l’équation quadratique possède-t-elle si $b^2-4ac<0$ ?

Réponse

Aucune solution réelle.

26Question

Combien de solutions réelles l’équation quadratique possède-t-elle si $b^2-4ac>0$ ?

Réponse

Deux solutions réelles.

27Question

Quelles étapes suivent la transformation d’une inéquation quadratique comparée à zéro ?

Réponse

Résoudre l’équation associée, valider l’inégalité avec une ou plusieurs valeurs, puis indiquer les intervalles solutions.

28Question

Que sont les identités remarquables du second degré ?

Réponse

Des égalités qui facilitent le développement de certains produits de binômes.

29Question

Combien vaut $63^2$ grâce au carré d’une somme ?

Réponse

$3969$

30Question

À quoi se réduit le produit $(x^2+7x+5)(x-2)$ ?

Réponse

$x^3+5x^2-9x-10$

31Question

Quelles propriétés permettent de choisir l’ordre des facteurs dans un produit de polynômes ?

Réponse

La commutativité et l’associativité de la multiplication.

32Question

Comment s’écrit une division polynomiale en fonction du quotient, du reste et du diviseur ?

Réponse

$\text{Quotient}+\frac{\text{Reste}}{\text{Diviseur}}$

33Question

Quel est le degré du reste d’une division polynomiale par rapport au diviseur ?

Réponse

Il est inférieur au degré du diviseur.

34Question

Quand un polynôme du second degré est-il irréductible ?

Réponse

Lorsqu’il ne peut pas s’écrire comme le produit de deux polynômes du premier degré.

35Question

Comment la mise en évidence simple factorise-t-elle $7x^3+42x^2-70x$ ?

Réponse

$7x(x^2+6x-10)$

36Question

Comment la méthode de la somme et du produit factorise-t-elle un trinôme ?

Réponse

Elle décompose le terme du milieu, puis effectue une double mise en évidence.

37Question

Comment la complétion du carré permet-elle de factoriser un trinôme ?

Réponse

Elle l’exprime comme une différence de carrés, puis permet de factoriser cette différence.

38Question

Pourquoi $\frac{2}{x+5}$ est-elle rationnelle, contrairement à $\frac{3x}{\sqrt{x+8}}$ ?

Réponse

Son dénominateur est un polynôme.

39Question

Que devient la restriction $x\ne-2$ dans $\frac{x^3+6x^2+8x}{x+2}$ après simplification ?

Réponse

Elle demeure.

40Question

À quelle expression se réduit $\frac{x^3+6x^2+8x}{x+2}$ ?

Réponse

$x(x+4)$ .

41Question

Quelles sont les restrictions de $\frac{9x^3-18x^2-9x}{3x^2-12x}$ ?

Réponse

$x\ne0$ et $x\ne4$ .

42Question

À quelle expression se réduit $\frac{9x^3-18x^2-9x}{3x^2-12x}$ ?

Réponse

$\frac{3(x^2-2x-1)}{x-4}$ .

43Question

Quels principes suivent la multiplication des expressions rationnelles ?

Réponse

Les mêmes principes que la multiplication des fractions.

44Question

Quels facteurs obtient-on au numérateur de l’exemple de multiplication donné ?

Réponse

$(x+3)(x-7)(x+3)(x+3)$

45Question

Quels facteurs obtient-on au dénominateur de l’exemple de multiplication donné ?

Réponse

$(x+3)(x-3)(x+7)(x-7)$

46Question

Quelles restrictions s’appliquent à $x$ dans l’exemple de multiplication donné ?

Réponse

$x\ne-3,\ x\ne3,\ x\ne-7,\ x\ne7$

47Question

Quelles restrictions s’appliquent à la division d’expressions rationnelles illustrée ?

Réponse

$x\ne-10,\ x\ne10,\ x\ne-2,\ x\ne-4$

48Question

Quel est le quotient simplifié de la division d’expressions rationnelles illustrée ?

Réponse

49Question

Quel est le résultat de l’addition rationnelle de l’exemple ?

Réponse

$\frac{4x+13}{(x+2)(x+4)}$

50Question

Quel est le résultat de la soustraction rationnelle de l’exemple ?

Réponse

$\frac{x-7}{x+5}$

51Question

Quelle est la forme quadratique standard et quelles conditions vérifient ses coefficients ?

Réponse

$ax^2+bx+c=0$ , avec $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\ne0$ .

52Question

Quelles sont les solutions de $3x^2+14x-3=2$ ?

Réponse

$-5$ et $\frac13$ .

53Question

Quelles sont les solutions de $x^2-13x+40=0$ ?

Réponse

5 et 8.

54Question

Combien de solutions réelles possède $3x^2+5x+6=0$ ?

Réponse

Aucune, car son discriminant vaut $-47$ .

55Question

Quelles étapes démontrent la formule quadratique, de la mise en évidence de $a$ à l’isolement de $x$ ?

Réponse

On complète le carré, factorise le trinôme carré parfait, regroupe les constantes, divise par $a$ , isole le carré, prend les racines avec $\pm$ , puis isole $x$ .

56Question

Comment transformer $x^2+4x+24\ge4$ en inéquation comparée à zéro ?

Réponse

$x^2+4x+20\ge0$

57Question

Pour quels réels $x^2+4x+20\ge0$ est-elle vérifiée ?

Réponse

Pour tout réel.

58Question

Quel intervalle représente les solutions de $x^2+4x+20\ge0$ ?

Réponse

$]-\infty;+\infty[$ .

59Question

Quelles sont les solutions de $2x^2-3x-15<5$ ?

Réponse

$]-2,5;4[$

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