Fiche de révision : Polynômes et expressions rationnelles

📋 Plan du Cours

1. Identités remarquables du second degré
2. Opérations sur les polynômes
3. Méthodes de factorisation
4. Simplification des expressions rationnelles
5. Multiplication des expressions rationnelles
6. Opérations sur les expressions rationnelles
7. Résolution des équations quadratiques
8. Démonstration de la formule quadratique
9. Résolution des inéquations quadratiques

📖 1. Identités remarquables du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Identités remarquables : Égalités qui facilitent le développement de certains produits de binômes.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le carré d’une somme se développe selon $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule - Le carré d’une différence se développe selon $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule - Le produit d’une somme et de sa différence se développe selon $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• L’identité du carré d’une somme permet de calculer mentalement $63^2=(60+3)^2=3969$.

📖 2. Opérations sur les polynômes

★ À maîtriser

📌 Pour multiplier des polynômes, on applique la distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction.

• Pour multiplier trois polynômes, on multiplie d’abord deux polynômes, puis leur produit par le troisième.

📌 La division d’un polynôme par un binôme n’est possible que si le diviseur est non nul.

📌 Lorsque le reste d’une division polynomiale est nul, le diviseur et le quotient sont des facteurs du polynôme divisé.

Compléments

• Le produit $(x^2+7x+5)(x-2)$ se réduit à $x^3+5x^2-9x-10$.

• La commutativité et l’associativité de la multiplication permettent de choisir l’ordre des facteurs, notamment pour repérer une identité remarquable ou regrouper des binômes à variables communes et à coefficients entiers.

📐 Formule - Une division polynomiale s’écrit $\text{Quotient}+\frac{\text{Reste}}{\text{Diviseur}}$.

📌 Le reste d’une division polynomiale est toujours de degré inférieur à celui du diviseur.

📖 3. Méthodes de factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Opération qui exprime un polynôme sous la forme d’un produit de facteurs, lesquels sont, par convention, de degré inférieur à celui du polynôme de départ.
• Polynôme irréductible : Polynôme du second degré qui ne peut pas s’écrire comme le produit de deux polynômes du premier degré; par exemple, $x^2+4$ est irréductible.

★ À maîtriser

• La mise en évidence simple factorise un polynôme en faisant ressortir un facteur commun à tous ses termes.

• 🔄 La double mise en évidence se déroule en trois étapes :

  1. Regrouper les termes qui ont un facteur commun.
  2. Faire ressortir le binôme commun dans chaque groupe.
  3. Mettre en évidence le binôme commun.

📌 Dans une différence de carrés, la factorisation donne deux binômes conjugués, tandis qu’un trinôme carré parfait se factorise en un binôme élevé au carré.

Compléments

• La mise en évidence simple transforme $7x^3+42x^2-70x$ en $7x(x^2+6x-10)$.

• La méthode de la somme et du produit consiste à trouver deux nombres de somme $b$ et de produit $ac$, à décomposer le terme du milieu en deux termes, puis à effectuer une double mise en évidence.

• La complétion du carré exprime un trinôme comme une différence de carrés, puis permet de factoriser cette différence.

📖 4. Simplification des expressions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression rationnelle : Expression algébrique exprimée sous la forme d’un rapport de polynômes.

★ À maîtriser

• Pour simplifier une expression rationnelle, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on réduit les facteurs communs afin d’obtenir une expression irréductible.

📌 Les restrictions d’une expression rationnelle excluent les valeurs qui annulent son dénominateur initial et demeurent même si ces valeurs n’annulent pas le dénominateur de l’expression irréductible.

Compléments

📌 Une expression algébrique sous forme de rapport de polynômes, comme $\frac{2}{x+5}$, est rationnelle, contrairement à $\frac{3x}{\sqrt{x+8}}$, dont le dénominateur n’est pas un polynôme.

• Pour $\frac{x^3+6x^2+8x}{x+2}$, la factorisation permet de réduire l’expression à $x(x+4)$, mais la restriction $x\ne-2$ demeure.

• Pour $\frac{9x^3-18x^2-9x}{3x^2-12x}$, les restrictions sont $x\ne0$ et $x\ne4$, et l’expression se réduit à $\frac{3(x^2-2x-1)}{x-4}$.

📖 5. Multiplication des expressions rationnelles

★ À maîtriser

• Pour commencer une multiplication d’expressions rationnelles, on décompose les numérateurs et les dénominateurs en facteurs, puis on détermine les restrictions de la variable en excluant les valeurs qui annulent les dénominateurs initiaux.

Compléments

• La multiplication des expressions rationnelles suit les mêmes principes que la multiplication des fractions.

• Dans $\frac{x^2-4x-21}{x^2-9}\cdot\frac{x^2+6x+9}{x^2-49}$, les facteurs sont $\frac{(x+3)(x-7)(x+3)(x+3)}{(x+3)(x-3)(x+7)(x-7)}$ et les restrictions sont $x\ne-3,\ x\ne3,\ x\ne-7,\ x\ne7$.

📖 6. Opérations sur les expressions rationnelles

★ À maîtriser

• Pour multiplier des expressions rationnelles, on factorise les numérateurs et les dénominateurs, on pose les restrictions, puis on simplifie les facteurs communs.

• Pour diviser des expressions rationnelles, on factorise, on pose les restrictions, on multiplie par l’inverse multiplicatif du diviseur, puis on simplifie les facteurs communs.

• Pour additionner ou soustraire des expressions rationnelles, on factorise les dénominateurs, on trouve le plus petit dénominateur commun, on pose les restrictions, on met les fractions sur ce dénominateur, on effectue l’opération sur les numérateurs, puis on factorise le numérateur pour simplifier les facteurs communs s’il y a lieu.

Compléments

• Dans la division d’expressions rationnelles illustrée, les restrictions sont $x\ne-10,\ x\ne10,\ x\ne-2,\ x\ne-4$ et le quotient simplifié vaut 1.

• Dans l’exemple d’addition, $\frac{x+1}{x^2+6x+8}+\frac{3}{x+2}$ devient $\frac{4x+13}{(x+2)(x+4)}$, avec les restrictions $x\ne-2$ et $x\ne-4$.

• Dans l’exemple de soustraction, $\frac{x^2-10x+25}{x^2-25}-\frac{2}{x+5}$ devient $\frac{x-7}{x+5}$, avec les restrictions $x\ne5$ et $x\ne-5$.

📖 7. Résolution des équations quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation à une variable dont les solutions sont les valeurs de la variable qui la vérifient; elle peut avoir une ou deux solutions réelles, ou aucune.
• Discriminant : Le discriminant est l’expression $b^2-4ac$ sous le radical de la formule quadratique; il est noté $\Delta$ et sa valeur permet de déterminer le nombre de solutions.

★ À maîtriser

• Par factorisation, une équation quadratique se transforme en produit nul, puis ses solutions sont les valeurs de $x$ qui annulent l’un ou l’autre des facteurs.

📐 Formule - Les solutions d’une équation quadratique $ax^2+bx+c=0$ sont données par $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Compléments

• La forme quadratique standard est $ax^2+bx+c=0$, où $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\ne0$.

• L’équation $3x^2+14x-3=2$ se réécrit $3x^2+14x-5=0$, se factorise en $(3x-1)(x+5)=0$ et a pour solutions $-5$ et $\frac13$.

• L’équation $x^2-13x+40=0$ a pour solutions 5 et 8, que l’on peut obtenir par complétion du carré ou par la formule quadratique.

• L’équation $2x^2-16x-10=0$ a pour solutions $4-\sqrt{21}$ et $4+\sqrt{21}$, soit environ $-0{,}5825$ et $8{,}5825$.

• L’équation $3x^2+5x+6=0$ n’a aucune solution dans $\mathbb{R}$, car son discriminant vaut $-47$.

📖 8. Démonstration de la formule quadratique

★ À maîtriser

• Si $b^2-4ac<0$, l’équation quadratique n’a aucune solution réelle; si $b^2-4ac>0$, elle a deux solutions réelles.

Compléments

• La formule quadratique se démontre en mettant $a$ en évidence, en complétant le carré, en factorisant le trinôme carré parfait, en regroupant les constantes, en divisant par $a$, en isolant le carré, en prenant les racines carrées avec $\pm$, puis en isolant $x$.

📖 9. Résolution des inéquations quadratiques

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation quadratique, on la transforme d’abord en une inéquation comparée à zéro, on résout l’équation associée, on valide l’inégalité avec une ou plusieurs valeurs, puis on indique les intervalles qui la vérifient.

Compléments

• L’inéquation $2x^2-3x-15<5$ se ramène à $2x^2-3x-20<0$; ses racines sont $-2{,}5$ et 4, et ses solutions sont $]-2{,}5;4[$.

• L’inéquation $x^2+4x+24\ge4$ se ramène à $x^2+4x+20\ge0$ et est vérifiée pour tout réel, soit $]-\infty;+\infty[$.