Fiche de révision : Fonction trinôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Formes et sommet du trinôme
2. Orientation et extremum de la parabole
3. Discriminant, racines et signe

📖 1. Formes et sommet du trinôme

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme développée d’un trinôme est $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne 0$.

📐 Formule - Le sommet du trinôme est $S(\alpha,\beta)$ et son axe est $x=\alpha$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

📐 Formule - La forme canonique d’un trinôme est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ et elle révèle son sommet.

📐 Formule - Pour un trinôme à deux racines réelles, la forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; avec une racine double $x_0$, elle est $f(x)=a(x-x_0)^2$.

📖 2. Orientation et extremum de la parabole

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et $\beta$ est le minimum de $f$, atteint pour $x=\alpha$.

• Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et $\beta$ est le maximum de $f$, atteint pour $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : vers le haut et minimum ; a < 0 : vers le bas et maximum.

📖 3. Discriminant, racines et signe

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ ; si $\Delta>0$, ses racines sont $x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Le signe de $\Delta$ détermine le nombre de racines réelles : deux racines distinctes si $\Delta>0$, une racine double si $\Delta=0$ et aucune racine réelle si $\Delta<0$.

Compléments

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l’unique racine double est $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta>0$, le signe de $f(x)$ est celui de $a$ à l’extérieur des deux racines et lui est opposé entre elles.

• Si $\Delta=0$, $f(x)$ garde le signe de $a$ sauf en la racine double, où $f(x_0)=0$.

• Si $\Delta<0$, $f(x)$ a partout le signe de $a$.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant, racines et signe