Fiche de révision : Polynômes et fractions rationnelles

📋 Plan du Cours

1. Repères historiques des équations polynomiales
2. Définitions et opérations polynomiales
3. Degré et division euclidienne
4. Racines et multiplicités
5. Irréductibilité selon le corps
6. Factorisation dans R[X] et C[X]
7. Méthode de Ruffini-Horner
8. Décomposition en éléments simples

📖 1. Repères historiques des équations polynomiales

★ À maîtriser

• L’école italienne de la Renaissance, avec Cardan, Del Ferro, Ferrari et Tartaglia, a résolu les équations générales de degrés 3 et 4. — Cardan, Del Ferro, Ferrari, Tartaglia

• Au début du XIXe siècle, Abel et Galois ont montré que l’équation générale de degré 5 n’est pas résoluble par radicaux, ce qui a contribué à fonder la théorie des corps.

Compléments

• Les premiers travaux sur les polynômes visaient la recherche de leurs racines, et les civilisations babyloniennes savaient résoudre l’équation du deuxième degré deux millénaires avant notre ère.

• La civilisation arabo-islamique médiévale a posé les premiers jalons d’une théorie des équations polynomiales, notamment avec Al-Khayyam et Al-Khwarizmi, sans résoudre généralement le troisième degré.

💡 Astuce mémo

Babylone → monde arabo-islamique → Renaissance italienne → Abel et Galois

📖 2. Définitions et opérations polynomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Expression de la forme $P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$, où les coefficients vérifient $a_k\in K$, avec $K=\mathbb R$ ou $K=\mathbb C$, et où X est une indéterminée.

★ À maîtriser

• Pour additionner deux polynômes, on additionne terme à terme les coefficients correspondant aux mêmes puissances de X.

📐 Formule — Si $P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ et $Q(X)=\sum_{j=0}^{p}b_jX^j$, alors $P(X)Q(X)=\sum_{t=0}^{n+p}c_tX^t$ avec $c_t=\sum_{k=0}^{t}a_kb_{t-k}$.

Compléments

• L’addition et la multiplication des polynômes sont associatives, commutatives et distributives, et le polynôme nul 0 est un polynôme particulier.

💡 Astuce mémo

L’indéterminée X décrit une expression, tandis que x peut désigner une valeur ou une fonction

📖 3. Degré et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré d’un polynôme : Si $P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ avec $a_n\neq0$, alors le degré de P est n, c’est-à-dire l’exposant de son terme de plus haut degré à coefficient non nul, et par convention le degré du polynôme nul est $-\infty$.
• Division euclidienne : Pour deux polynômes A(X) et B(X) avec B(X)≠0, il existe un unique couple (Q(X),R(X)) tel que $A(X)=B(X)Q(X)+R(X)$ et $\deg(R)<\deg(B)$.
• Polynôme unitaire : Polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré, appelé coefficient dominant, vaut 1.
• Divisibilité polynomiale : Lorsque $A(X)=B(X)Q(X)$, B(X) divise A(X), ce qui se note $B(X)\mid A(X)$, et A(X) est un multiple de B(X).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux polynômes P et Q, $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$ et $\deg(P+Q)\leq\max(\deg(P),\deg(Q))$.

📌 Si $\deg(P)\neq\deg(Q)$, alors $\deg(P+Q)=\max(\deg(P),\deg(Q))$, tandis que des degrés égaux peuvent provoquer l’annulation du terme dominant.

💡 Astuce mémo

Le terme dominant détermine le degré → il contrôle les degrés du produit et de la somme

📖 4. Racines et multiplicités

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Élément a de K tel que $P(a)=0$.
• Multiplicité d’une racine : Une racine a a une multiplicité m exactement lorsque P(X) est divisible par $(X-a)^m$ mais pas par $(X-a)^{m+1}$.

★ À maîtriser

📌 Un élément a de K est une racine de P(X) si et seulement si le polynôme X−a divise P(X).

📌 Si P(X) est à coefficients réels et admet a comme racine complexe, alors son conjugué complexe $\overline a$ est aussi racine et possède la même multiplicité.

📐 Formule — Une racine a est de multiplicité m exactement si $P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0$ et $P^{(m)}(a)\neq0$.

Compléments

📌 Si un polynôme à coefficients entiers admet une racine entière a, alors a divise son coefficient constant a₀.

💡 Astuce mémo

P(a)=0 → (X−a) divise P → la multiplicité mesure le nombre de facteurs répétés

📖 5. Irréductibilité selon le corps

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme irréductible : Polynôme de degré strictement positif qui ne peut pas être factorisé en produit de polynômes de degrés strictement inférieurs à deg(P).

★ À maîtriser

📌 Le polynôme $X^2+X+1$ est irréductible dans R[X] car son discriminant est négatif, mais il est réductible dans C[X] car il possède les racines complexes conjuguées j et $\overline j$.

Compléments

📌 Tout polynôme de degré 1 est irréductible, quel que soit le corps K considéré.

💡 Astuce mémo

X²+X+1 est irréductible dans R[X], mais réductible dans C[X]

📖 6. Factorisation dans R[X] et C[X]

📝 Points essentiels

• Tout polynôme non constant de K[X] se factorise de manière unique à l’ordre près en un coefficient dominant multiplié par des puissances de polynômes irréductibles unitaires.

• Les seuls polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1, ce qui signifie que tout polynôme complexe non constant possède au moins une racine complexe.

• Les polynômes irréductibles unitaires de R[X] sont les polynômes X−a avec a réel et les polynômes unitaires de degré 2 à discriminant négatif.

📐 Formule — Dans C[X], tout polynôme non constant s’écrit $P(X)=\alpha\prod_{i=1}^{r}(X-a_i)^{k_i}$, où α est le coefficient dominant, les aᵢ sont les racines et les kᵢ leurs multiplicités.

• Dans R[X], tout polynôme non constant s’écrit comme le produit de facteurs linéaires réels et de facteurs quadratiques réels à discriminant négatif, chacun étant affecté de sa multiplicité, puis du coefficient dominant.

💡 Astuce mémo

Dans C[X], seulement des facteurs linéaires ; dans R[X], facteurs linéaires et quadratiques à discriminant négatif

📖 7. Méthode de Ruffini-Horner

★ À maîtriser

• La méthode de Ruffini-Horner divise un polynôme P(X) par X−a à partir de ses coefficients et fournit un quotient de degré inférieur ainsi que le reste P(a).

📌 Si le reste de la division de P(X) par X−a est nul, alors a est une racine de P(X) et P(X) est divisible par X−a.

Compléments

• Pour $P(X)=X^3-2X^2+1$, Ruffini-Horner avec a=1 donne le quotient $X^2-X-1$ et la factorisation $P(X)=(X-1)(X^2-X-1)$.

💡 Astuce mémo

Multiplier → additionner → répéter jusqu’au reste

📖 8. Décomposition en éléments simples

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en éléments simples : Une fraction rationnelle réelle dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur se décompose en un polynôme nul ou non nul et en éléments simples associés aux facteurs du dénominateur.

★ À maîtriser

📌 Si le degré du numérateur n’est pas inférieur à celui du dénominateur, la division euclidienne donne $\frac{P_1(X)}{P_2(X)}=Q(X)+\frac{R(X)}{P_2(X)}$ avec $\deg(R)<\deg(P_2)$.

📐 Formule — Pour un dénominateur réel scindé $P_2(X)=\prod_{j=1}^{n}(X-a_j)^{m_j}$, la décomposition contient, pour chaque aⱼ, les termes $\frac{A^{(j)}_1}{X-a_j}+\cdots+\frac{A^{(j)}_{m_j}}{(X-a_j)^{m_j}}$.

📐 Formule — Un facteur réel quadratique $X^2+bX+c$ à discriminant négatif produit des éléments simples de deuxième espèce de la forme $\frac{AX+B}{(X^2+bX+c)^m}$.

📌 Dans C[X], la décomposition en éléments simples utilise uniquement des facteurs linéaires complexes, tandis que dans R[X] les facteurs quadratiques irréductibles donnent des éléments de deuxième espèce.

Compléments

📌 Les coefficients des éléments simples de première espèce se déterminent en mettant les termes au même dénominateur puis par identification des coefficients.

📐 Formule — Pour un facteur unique $(X-a)^m$, la méthode des pôles donne $A_n=\frac{1}{(m-n)!}\left[\frac{d^{m-n}}{dX^{m-n}}\big((X-a)^mF(X)\big)\right]_{X=a}$ pour $n\leq m$.

💡 Astuce mémo

Racines réelles → éléments de première espèce ; facteurs quadratiques réels → éléments de deuxième espèce

📊 Tableaux de synthèse

Irréductibles selon le corps