QCM : Polynômes et fractions rationnelles — 25 questions

Question 1

1. Quels mathématiciens de la Renaissance italienne ont résolu les équations générales de degrés 3 et 4 ?

Abel, Galois, Al-Khayyam et Al-Khwarizmi

Babylone, Cardan, Abel et Ferrari

Cardan, Del Ferro, Ferrari et Tartaglia

Tartaglia, Galois, Newton et Al-Khwarizmi

Explication

L’école italienne de la Renaissance, représentée par Cardan, Del Ferro, Ferrari et Tartaglia, a résolu les équations générales du troisième et du quatrième degré. Abel et Galois appartiennent à une période ultérieure et ont travaillé sur le degré cinq.

Answer

Cardan, Del Ferro, Ferrari et Tartaglia

Question 2

2. Quelle avancée Abel et Galois ont-ils établie au début du XIXe siècle concernant les équations de degré 5 ?

Les équations de degré 5 se résolvent par les méthodes du troisième degré

Toute équation de degré 5 possède une solution entière calculable

Toute équation de degré 5 admet une factorisation en facteurs linéaires réels

L’équation générale de degré 5 n’est pas résoluble par radicaux

Explication

Abel et Galois ont montré que l’équation générale de degré 5 n’est pas résoluble par radicaux, résultat qui a contribué à fonder la théorie des corps. La résolution par radicaux caractérise les degrés étudiés par l’école italienne, mais ne s’étend pas au cas général du degré cinq.

Answer

L’équation générale de degré 5 n’est pas résoluble par radicaux

Question 3

3. Laquelle des expressions respecte la définition d’un polynôme en l’indéterminée X à coefficients dans K ?

P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k

avec des coefficients nécessairement entiers

P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k

avec

a_k\in K

et

K=\mathbb R

ou

\mathbb C

P(X)=\frac{1}{X}+\sum_{k=0}^{n}a_kX^k

avec un exposant négatif autorisé

P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k

après avoir attribué une valeur numérique à x

Explication

Un polynôme est une expression formelle en X de la forme $\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ , avec des coefficients dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ . Une expression évaluée en x n’est plus une indéterminée formelle, et les puissances négatives ne font pas partie de cette définition.

Answer

$$P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$$ avec $$a_k\in K$$ et $$K=\mathbb R$$ ou $$\mathbb C$$

Question 4

4. Comment additionne-t-on les polynômes $P(X)=2X^2+3X-1$ et $Q(X)=5X^2-X+4$ ?

En regroupant les coefficients selon leurs valeurs numériques croissantes

En additionnant les coefficients associés aux mêmes puissances de X

En multipliant chaque coefficient de P par celui de Q de même degré

En additionnant chaque terme de P avec tous les termes de Q

Explication

L’addition polynomiale consiste à regrouper les termes portant la même puissance de X, ce qui donne ici $7X^2+2X+3$ . La multiplication, et non l’addition, utilise la distributivité entre tous les termes.

Answer

En additionnant les coefficients associés aux mêmes puissances de X

Question 5

5. Dans le produit de deux polynômes, comment calcule-t-on le coefficient $c_t$ de $X^t$ ?

c_t=a_tb_t

pour chaque puissance t

c_t=\sum_{k=0}^{t}a_kb_k

c_t=\sum_{k=0}^{n+p}a_kb_{t+k}

c_t=\sum_{k=0}^{t}a_kb_{t-k}

Explication

Le coefficient de $X^t$ est obtenu en additionnant tous les produits de coefficients dont les indices ont pour somme t, soit $c_t=\sum_{k=0}^{t}a_kb_{t-k}$ . Le produit terme à terme ne tient pas compte des contributions croisées nécessaires à la distributivité.

Answer

$$c_t=\sum_{k=0}^{t}a_kb_{t-k}$$

Question 6

6. Quel est le degré du polynôme $P(X)=4X^5-2X^3+7$ ?

5

3

7

-\infty

Explication

Le degré est l’exposant du terme de plus haut degré dont le coefficient est non nul ; ici, le terme dominant est $4X^5$ . La valeur $-\infty$ est réservée par convention au polynôme nul, qui n’est pas celui donné.

Answer

$$\deg(PQ)=8$$ et $$\deg(P+Q)=5$$

Answer

$$\deg(P+Q)=4$$, car les degrés sont différents

Answer

Il existe un unique couple $$\bigl(Q(X),R(X)\bigr)$$ tel que $$A(X)=B(X)Q(X)+R(X)$$ et $$\deg(R)<\deg(B)$$

Answer

On a $$P(a)=0$$.

Answer

Le polynôme $$X-a$$ divise $$P(X)$$.

Answer

$$P(X)$$ est divisible par $$(X-a)^m$$ mais pas par $$(X-a)^{m+1}$$.

Answer

Son conjugué $$\overline a$$ est aussi racine, avec la même multiplicité.

Answer

Il a un degré positif et ne se factorise pas en polynômes de degrés strictement inférieurs.

Answer

Son discriminant est négatif dans $$\mathbb{R}$$, tandis qu’il possède deux racines complexes conjuguées dans $$\mathbb{C}$$.

Answer

Elle est unique à l’ordre près des facteurs irréductibles unitaires.

Answer

Ce sont les polynômes de degré un, donc tout polynôme complexe non constant possède une racine complexe.

Answer

Les facteurs $$X-a$$ avec $$a\in\mathbb{R}$$ et les quadratiques unitaires à discriminant négatif.

Answer

$$P(X)=\alpha\prod_{i=1}^{r}(X-a_i)^{k_i}$$, où $$\alpha$$ est le coefficient dominant.

Answer

Le dernier résultat est $$P(a)$$ et les précédents fournissent les coefficients du quotient

Answer

$$a$$ est une racine de $$P(X)$$ et $$X-a$$ divise $$P(X)$$

Answer

Le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur

Answer

$$Q(X)+\frac{R(X)}{P_2(X)}$$ avec $$\deg(R)<\deg(P_2)$$

Answer

$$\frac{A^{(j)}_1}{X-a_j}+\cdots+\frac{A^{(j)}_{m_j}}{(X-a_j)^{m_j}}$$

Answer

$$\frac{AX+B}{(X^2+bX+c)^m}$$

Question 7

7. Si $\deg(P)=3$ et $\deg(Q)=5$ , quelles informations sont nécessairement vraies pour le produit et la somme ?

\deg(PQ)=8

et

\deg(P+Q)=5

\deg(PQ)\leq8

et

\deg(P+Q)=15

\deg(PQ)=5

et

\deg(P+Q)=3

\deg(PQ)=15

et

\deg(P+Q)=8

Explication

Le degré du produit est la somme des degrés, donc $\deg(PQ)=3+5=8$ . Comme les degrés de P et Q sont différents, le terme de degré 5 ne peut pas être annulé dans la somme, d’où $\deg(P+Q)=5$ .

Question 8

8. Que peut-on conclure lorsque $\deg(P)=4$ et $\deg(Q)=2$ ?

\deg(P+Q)

peut être inférieur à 2, car tout terme dominant s’annule

\deg(P+Q)=2

, car le plus petit degré domine la somme

\deg(P+Q)=6

, car les degrés s’additionnent dans une somme

\deg(P+Q)=4

, car les degrés sont différents

Explication

Lorsque les degrés sont différents, le terme de plus haut degré ne possède aucun terme de même degré dans l’autre polynôme pour s’annuler ; ainsi $\deg(P+Q)=\max(4,2)=4$ . L’annulation du terme dominant peut se produire lorsque les deux polynômes ont le même degré.

Question 9

9. Quelle propriété caractérise la division euclidienne de $A(X)$ par un polynôme non nul $B(X)$ ?

Il existe une factorisation de A par B dès que

B(X)\neq0

, sans condition sur le reste

Il existe un couple de quotients tel que

A(X)=B(X)+Q(X)+R(X)

et

\deg(R)=\deg(B)

Il existe un unique couple

\bigl(Q(X),R(X)\bigr)

tel que

A(X)=B(X)Q(X)+R(X)

et

\deg(R)<\deg(B)

Il existe un unique reste tel que

A(X)=B(X)R(X)+Q(X)

et

\deg(Q)<\deg(B)

Explication

La division euclidienne fournit un quotient et un reste uniques vérifiant $A(X)=B(X)Q(X)+R(X)$ , avec $\deg(R)<\deg(B)$ . Le fait que B soit non nul garantit cette décomposition, mais n’implique pas que B divise A ni que le reste soit nul.

Question 10

10. Pour un polynôme $P(X)$ à coefficients dans un corps $K$ , quelle condition caractérise le fait que $a\in K$ soit une racine de $P$ ?

Le degré de

P

vaut

a

.

Le coefficient dominant de

P

vaut

a

.

On a

P(a)=0

.

On a

P(a)=1

.

Explication

Un élément $a$ est une racine lorsque l’évaluation du polynôme en ce point donne zéro. Les autres conditions concernent une valeur différente ou des caractéristiques sans lien avec la définition d’une racine.

Question 11

11. Quelle propriété est équivalente à l’égalité $P(a)=0$ pour un polynôme $P(X)$ ?

Le polynôme

X+a

divise

P(X)

.

Le polynôme

X-a

divise

P(X)

.

Le polynôme

X^2-a

divise

P(X)

.

Le polynôme constant

a

divise

P(X)

.

Explication

Le théorème du facteur affirme que $P(a)=0$ équivaut à la divisibilité de $P(X)$ par $X-a$ . Une factorisation par les autres polynômes proposés ne traduit pas cette racine précise.

Question 12

12. Un nombre $a$ est-il une racine de multiplicité exactement $m$ lorsque quelle condition est satisfaite ?

P(X)

est divisible par

(X-a)^m

mais pas par

(X-a)^{m+1}

.

P(X)

possède exactement

m

racines distinctes.

P(X)

est divisible par

X-a

et par

X+a

.

P(X)

est divisible par

(X-a)^{m+1}

mais pas par

(X-a)^m

.

Explication

La multiplicité mesure la plus grande puissance de $X-a$ qui divise le polynôme, d’où la divisibilité par $(X-a)^m$ et l’absence de divisibilité par la puissance suivante. Elle ne correspond ni au nombre total de racines ni à la présence de $X+a$ .

Question 13

13. Si un polynôme à coefficients réels possède une racine complexe non réelle $a$ , quelle autre propriété doit-elle vérifier ?

Son opposé

-a

est aussi racine, avec une multiplicité différente.

Sa partie réelle est nécessairement racine, avec une multiplicité différente.

Son conjugué

\overline a

est aussi racine, avec la même multiplicité.

Son carré

a^2

est nécessairement racine, avec la même multiplicité.

Explication

Les coefficients réels imposent que les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées et avec des multiplicités égales. Cette propriété ne s’étend pas automatiquement à l’opposé, au carré ou à la partie réelle.

Question 14

14. Quelle condition définit un polynôme irréductible sur un corps $K$ ?

Il a un degré nul et se factorise en deux polynômes non constants.

Il possède un degré positif et admet plusieurs factorisations distinctes.

Il est constant et ne possède aucune racine dans

K

.

Il a un degré positif et ne se factorise pas en polynômes de degrés strictement inférieurs.

Explication

L’irréductibilité exige un degré strictement positif et l’impossibilité d’une factorisation en facteurs de degrés plus petits. Un polynôme constant est exclu par la condition sur le degré, quelle que soit sa valeur.

Question 15

15. Pourquoi le polynôme $X^2+X+1$ est-il irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ mais réductible dans $\mathbb{C}[X]$ ?

Son discriminant est positif dans

\mathbb{R}

, tandis qu’il devient constant dans

\mathbb{C}

.

Il est de degré un dans

\mathbb{R}[X]

, tandis qu’il est de degré deux dans

\mathbb{C}[X]

.

Son discriminant est négatif dans

\mathbb{R}

, tandis qu’il possède deux racines complexes conjuguées dans

\mathbb{C}

.

Il n’a aucune racine dans

\mathbb{C}

, tandis qu’il possède deux racines réelles dans

\mathbb{R}

.

Explication

Un discriminant négatif empêche une factorisation en facteurs linéaires réels, alors que les racines complexes conjuguées permettent une factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ . Les autres propositions inversent les propriétés des corps ou les degrés.

Question 16

16. Comment s’exprime l’unicité de la factorisation d’un polynôme non constant dans $K[X]$ ?

Elle autorise plusieurs coefficients dominants pour un même polynôme.

Elle dépend du choix d’un ordre fixe pour les racines du polynôme.

Elle impose un ordre croissant des degrés des facteurs irréductibles.

Elle est unique à l’ordre près des facteurs irréductibles unitaires.

Explication

La factorisation est déterminée par le coefficient dominant et les puissances de facteurs irréductibles unitaires, avec une liberté de permutation des facteurs. Changer leur ordre ne produit donc pas une nouvelle factorisation essentielle.

Question 17

17. Quelle affirmation décrit les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ ?

Ce sont les polynômes de degré strictement supérieur à deux, donc les facteurs linéaires sont réductibles.

Ce sont les polynômes de degré deux à discriminant négatif, donc certains polynômes complexes n’ont pas de racine.

Ce sont les polynômes de degré un, donc tout polynôme complexe non constant possède une racine complexe.

Ce sont les polynômes constants non nuls, donc les polynômes non constants sont exclus.

Explication

Dans $\mathbb{C}[X]$ , les seuls irréductibles sont les facteurs linéaires, ce qui garantit une racine complexe pour tout polynôme non constant. Les quadratiques à discriminant négatif caractérisent plutôt une partie des irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ .

Question 18

18. Quels sont les polynômes irréductibles unitaires de $\mathbb{R}[X]$ ?

Les facteurs

X-a

avec

a\in\mathbb{C}

et les cubiques unitaires à discriminant négatif.

Les facteurs

X-a

avec

a\in\mathbb{R}

et les quadratiques unitaires à discriminant négatif.

Les constantes unitaires et les quadratiques à discriminant positif.

Les polynômes de degré quatre et les facteurs linéaires sans racine réelle.

Explication

Les irréductibles unitaires réels sont les facteurs linéaires associés aux racines réelles et les quadratiques unitaires sans racine réelle, donc à discriminant négatif. Une racine complexe non réelle n’engendre pas un facteur linéaire dans $\mathbb{R}[X]$ .

Question 19

19. Quelle forme prend la factorisation d’un polynôme non constant dans $\mathbb{C}[X]$ lorsque ses racines distinctes sont $a_i$ et leurs multiplicités $k_i$ ?

P(X)=\alpha\prod_{i=1}^{r}(X-a_i)

, indépendamment des multiplicités.

P(X)=\alpha\sum_{i=1}^{r}(X-a_i)^{k_i}

, où

\alpha

est le coefficient dominant.

P(X)=\alpha\prod_{i=1}^{r}(X-a_i)^{k_i}

, où

\alpha

est le coefficient dominant.

P(X)=\prod_{i=1}^{r}(X+a_i)^{k_i}

, où

\alpha

est le terme constant.

Explication

Dans $\mathbb{C}[X]$ , chaque racine fournit un facteur $X-a_i$ élevé à sa multiplicité, et le coefficient dominant complète le produit. Une somme ou l’absence des exposants ne conserve pas la structure de la factorisation.

Question 20

20. Lorsqu’on applique la méthode de Ruffini-Horner à la division de $P(X)$ par $X-a$ , que représentent respectivement le dernier résultat calculé et les résultats intermédiaires ?

Le dernier résultat est

P(a)

et les précédents fournissent les coefficients du quotient

Le dernier résultat est le degré du quotient et les précédents donnent le reste

Le dernier résultat est le quotient et les précédents fournissent la valeur

P(a)

Le dernier résultat est le coefficient dominant et les précédents donnent les racines

Explication

La méthode fournit le quotient de degré inférieur grâce aux coefficients intermédiaires, tandis que le dernier résultat est le reste, égal à $P(a)$ . Confondre ces deux rôles revient à attribuer la valeur du reste aux coefficients intermédiaires.

Question 21

21. Pour un polynôme $P(X)$ , que peut-on conclure si la division par $X-a$ donne un reste nul ?

Le quotient possède le même degré que

P(X)

et le reste vaut

a

P(a)

est égal au coefficient constant et

X-a

est irréductible

a

est le coefficient dominant et

X-a

est le quotient de

P(X)

a

est une racine de

P(X)

et

X-a

divise

P(X)

Explication

Un reste nul signifie que $P(a)=0$ , donc que $a$ est une racine et que $P(X)$ est divisible par $X-a$ . Le quotient obtenu a au contraire un degré inférieur à celui du polynôme initial.

Question 22

22. Quelle condition sur une fraction rationnelle permet d’aborder directement sa décomposition en éléments simples sans quotient polynomial préalable ?

Le numérateur et le dénominateur ont le même coefficient dominant

Le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur

Le dénominateur possède au moins un facteur quadratique irréductible

Le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur

Explication

Lorsque le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la fraction est propre et se décompose directement en éléments simples, avec un polynôme éventuellement nul. Dans le cas contraire, une division euclidienne fournit d’abord une partie polynomiale.

Question 23

23. Si $\deg(P_1)\geq\deg(P_2)$ , quelle forme prend la division euclidienne de la fraction rationnelle $\frac{P_1(X)}{P_2(X)}$ ?

Q(X)P_2(X)+\frac{R(X)}{P_1(X)}

avec

\deg(R)<\deg(P_1)

Q(X)+\frac{R(X)}{P_2(X)}

avec

\deg(R)<\deg(P_2)

\frac{Q(X)+R(X)}{P_2(X)}

avec

\deg(Q)<\deg(P_2)

R(X)+\frac{Q(X)}{P_2(X)}

avec

\deg(Q)<\deg(P_2)

Explication

La division euclidienne s’écrit $P_1(X)=Q(X)P_2(X)+R(X)$ , ce qui donne la forme proposée après division par $P_2(X)$ , avec un reste de degré inférieur à celui du dénominateur. La partie polynomiale est donc $Q(X)$ , et la fraction propre restante est $R(X)/P_2(X)$ .

Question 24

24. Pour un dénominateur scindé $P_2(X)=\prod_{j=1}^{n}(X-a_j)^{m_j}$ , quels termes sont associés à un facteur $X-a_j$ de multiplicité $m_j$ ?

\frac{A^{(j)}_1}{X-a_j}+\frac{A^{(j)}_2}{(X-a_j)^{m_j+1}}

\frac{A^{(j)}_1X+A^{(j)}_2}{(X-a_j)^{m_j}}

\frac{A^{(j)}_1}{X-a_j}+\cdots+\frac{A^{(j)}_{m_j}}{(X-a_j)^{m_j}}

\frac{A^{(j)}_{m_j}}{X-a_j}+\frac{A^{(j)}_1}{(X-a_j)^{m_j+1}}

Explication

Un facteur linéaire de multiplicité $m_j$ produit une famille de fractions dont les dénominateurs portent toutes les puissances de $1$ à $m_j$ . La présence d’un seul terme ou d’une puissance supérieure à $m_j$ ne respecte pas cette structure.

Question 25

25. Quelle forme prend l’élément simple associé à un facteur réel quadratique $X^2+bX+c$ de discriminant négatif, lorsqu’il apparaît à la puissance $m$ ?

\frac{A}{(X^2+bX+c)^m}

\frac{AX+B}{(X^2+bX+c)^m}

\frac{AX^2+B}{(X^2+bX+c)^m}

\frac{A}{X^2+bX+c}+\frac{B}{(X^2+bX+c)^m}

Explication

Un facteur quadratique réel irréductible donne un élément simple de deuxième espèce dont le numérateur est affine, soit $AX+B$ , et dont le dénominateur contient la puissance considérée du facteur. Un numérateur constant ou de degré deux ne correspond pas à la forme générale attendue.

QCM : Polynômes et fractions rationnelles — 25 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quels mathématiciens de la Renaissance italienne ont résolu les équations générales de degrés 3 et 4 ?

2. Quelle avancée Abel et Galois ont-ils établie au début du XIXe siècle concernant les équations de degré 5 ?

3. Laquelle des expressions respecte la définition d’un polynôme en l’indéterminée X à coefficients dans K ?

4. Comment additionne-t-on les polynômes $P(X)=2X^2+3X-1$ et $Q(X)=5X^2-X+4$ ?

5. Dans le produit de deux polynômes, comment calcule-t-on le coefficient $c_t$ de $X^t$ ?

6. Quel est le degré du polynôme $P(X)=4X^5-2X^3+7$ ?

7. Si $\deg(P)=3$ et $\deg(Q)=5$ , quelles informations sont nécessairement vraies pour le produit et la somme ?

8. Que peut-on conclure lorsque $\deg(P)=4$ et $\deg(Q)=2$ ?

9. Quelle propriété caractérise la division euclidienne de $A(X)$ par un polynôme non nul $B(X)$ ?

10. Pour un polynôme $P(X)$ à coefficients dans un corps $K$ , quelle condition caractérise le fait que $a\in K$ soit une racine de $P$ ?

11. Quelle propriété est équivalente à l’égalité $P(a)=0$ pour un polynôme $P(X)$ ?

12. Un nombre $a$ est-il une racine de multiplicité exactement $m$ lorsque quelle condition est satisfaite ?

13. Si un polynôme à coefficients réels possède une racine complexe non réelle $a$ , quelle autre propriété doit-elle vérifier ?

14. Quelle condition définit un polynôme irréductible sur un corps $K$ ?

15. Pourquoi le polynôme $X^2+X+1$ est-il irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ mais réductible dans $\mathbb{C}[X]$ ?

16. Comment s’exprime l’unicité de la factorisation d’un polynôme non constant dans $K[X]$ ?

17. Quelle affirmation décrit les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ ?

18. Quels sont les polynômes irréductibles unitaires de $\mathbb{R}[X]$ ?

19. Quelle forme prend la factorisation d’un polynôme non constant dans $\mathbb{C}[X]$ lorsque ses racines distinctes sont $a_i$ et leurs multiplicités $k_i$ ?

20. Lorsqu’on applique la méthode de Ruffini-Horner à la division de $P(X)$ par $X-a$ , que représentent respectivement le dernier résultat calculé et les résultats intermédiaires ?

21. Pour un polynôme $P(X)$ , que peut-on conclure si la division par $X-a$ donne un reste nul ?

22. Quelle condition sur une fraction rationnelle permet d’aborder directement sa décomposition en éléments simples sans quotient polynomial préalable ?

23. Si $\deg(P_1)\geq\deg(P_2)$ , quelle forme prend la division euclidienne de la fraction rationnelle $\frac{P_1(X)}{P_2(X)}$ ?

24. Pour un dénominateur scindé $P_2(X)=\prod_{j=1}^{n}(X-a_j)^{m_j}$ , quels termes sont associés à un facteur $X-a_j$ de multiplicité $m_j$ ?

25. Quelle forme prend l’élément simple associé à un facteur réel quadratique $X^2+bX+c$ de discriminant négatif, lorsqu’il apparaît à la puissance $m$ ?

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QCM : Polynômes et fractions rationnelles — 25 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quels mathématiciens de la Renaissance italienne ont résolu les équations générales de degrés 3 et 4 ?

2. Quelle avancée Abel et Galois ont-ils établie au début du XIXe siècle concernant les équations de degré 5 ?

3. Laquelle des expressions respecte la définition d’un polynôme en l’indéterminée X à coefficients dans K ?

4. Comment additionne-t-on les polynômes P(X)=2X2+3X−1P(X)=2X^2+3X-1P(X)=2X2+3X−1 et Q(X)=5X2−X+4Q(X)=5X^2-X+4Q(X)=5X2−X+4 ?

5. Dans le produit de deux polynômes, comment calcule-t-on le coefficient ctc_tct​ de XtX^tXt ?

6. Quel est le degré du polynôme P(X)=4X5−2X3+7P(X)=4X^5-2X^3+7P(X)=4X5−2X3+7 ?

7. Si deg⁡(P)=3\deg(P)=3deg(P)=3 et deg⁡(Q)=5\deg(Q)=5deg(Q)=5, quelles informations sont nécessairement vraies pour le produit et la somme ?

8. Que peut-on conclure lorsque deg⁡(P)=4\deg(P)=4deg(P)=4 et deg⁡(Q)=2\deg(Q)=2deg(Q)=2 ?

9. Quelle propriété caractérise la division euclidienne de A(X)A(X)A(X) par un polynôme non nul B(X)B(X)B(X) ?

10. Pour un polynôme P(X)P(X)P(X) à coefficients dans un corps KKK, quelle condition caractérise le fait que a∈Ka\in Ka∈K soit une racine de PPP ?

11. Quelle propriété est équivalente à l’égalité P(a)=0P(a)=0P(a)=0 pour un polynôme P(X)P(X)P(X) ?

12. Un nombre aaa est-il une racine de multiplicité exactement mmm lorsque quelle condition est satisfaite ?

13. Si un polynôme à coefficients réels possède une racine complexe non réelle aaa, quelle autre propriété doit-elle vérifier ?

14. Quelle condition définit un polynôme irréductible sur un corps KKK ?

15. Pourquoi le polynôme X2+X+1X^2+X+1X2+X+1 est-il irréductible dans R[X]\mathbb{R}[X]R[X] mais réductible dans C[X]\mathbb{C}[X]C[X] ?

16. Comment s’exprime l’unicité de la factorisation d’un polynôme non constant dans K[X]K[X]K[X] ?

17. Quelle affirmation décrit les polynômes irréductibles de C[X]\mathbb{C}[X]C[X] ?

18. Quels sont les polynômes irréductibles unitaires de R[X]\mathbb{R}[X]R[X] ?

19. Quelle forme prend la factorisation d’un polynôme non constant dans C[X]\mathbb{C}[X]C[X] lorsque ses racines distinctes sont aia_iai​ et leurs multiplicités kik_iki​ ?

20. Lorsqu’on applique la méthode de Ruffini-Horner à la division de P(X)P(X)P(X) par X−aX-aX−a, que représentent respectivement le dernier résultat calculé et les résultats intermédiaires ?

21. Pour un polynôme P(X)P(X)P(X), que peut-on conclure si la division par X−aX-aX−a donne un reste nul ?

22. Quelle condition sur une fraction rationnelle permet d’aborder directement sa décomposition en éléments simples sans quotient polynomial préalable ?

23. Si deg⁡(P1)≥deg⁡(P2)\deg(P_1)\geq\deg(P_2)deg(P1​)≥deg(P2​), quelle forme prend la division euclidienne de la fraction rationnelle P1(X)P2(X)\frac{P_1(X)}{P_2(X)}P2​(X)P1​(X)​ ?

24. Pour un dénominateur scindé P2(X)=∏j=1n(X−aj)mjP_2(X)=\prod_{j=1}^{n}(X-a_j)^{m_j}P2​(X)=∏j=1n​(X−aj​)mj​, quels termes sont associés à un facteur X−ajX-a_jX−aj​ de multiplicité mjm_jmj​ ?

25. Quelle forme prend l’élément simple associé à un facteur réel quadratique X2+bX+cX^2+bX+cX2+bX+c de discriminant négatif, lorsqu’il apparaît à la puissance mmm ?

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4. Comment additionne-t-on les polynômes $P(X)=2X^2+3X-1$ et $Q(X)=5X^2-X+4$ ?

5. Dans le produit de deux polynômes, comment calcule-t-on le coefficient $c_t$ de $X^t$ ?

6. Quel est le degré du polynôme $P(X)=4X^5-2X^3+7$ ?

7. Si $\deg(P)=3$ et $\deg(Q)=5$ , quelles informations sont nécessairement vraies pour le produit et la somme ?

8. Que peut-on conclure lorsque $\deg(P)=4$ et $\deg(Q)=2$ ?

9. Quelle propriété caractérise la division euclidienne de $A(X)$ par un polynôme non nul $B(X)$ ?

10. Pour un polynôme $P(X)$ à coefficients dans un corps $K$ , quelle condition caractérise le fait que $a\in K$ soit une racine de $P$ ?

11. Quelle propriété est équivalente à l’égalité $P(a)=0$ pour un polynôme $P(X)$ ?

12. Un nombre $a$ est-il une racine de multiplicité exactement $m$ lorsque quelle condition est satisfaite ?

13. Si un polynôme à coefficients réels possède une racine complexe non réelle $a$ , quelle autre propriété doit-elle vérifier ?

14. Quelle condition définit un polynôme irréductible sur un corps $K$ ?

15. Pourquoi le polynôme $X^2+X+1$ est-il irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ mais réductible dans $\mathbb{C}[X]$ ?

16. Comment s’exprime l’unicité de la factorisation d’un polynôme non constant dans $K[X]$ ?

17. Quelle affirmation décrit les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ ?

18. Quels sont les polynômes irréductibles unitaires de $\mathbb{R}[X]$ ?

19. Quelle forme prend la factorisation d’un polynôme non constant dans $\mathbb{C}[X]$ lorsque ses racines distinctes sont $a_i$ et leurs multiplicités $k_i$ ?

20. Lorsqu’on applique la méthode de Ruffini-Horner à la division de $P(X)$ par $X-a$ , que représentent respectivement le dernier résultat calculé et les résultats intermédiaires ?

21. Pour un polynôme $P(X)$ , que peut-on conclure si la division par $X-a$ donne un reste nul ?

23. Si $\deg(P_1)\geq\deg(P_2)$ , quelle forme prend la division euclidienne de la fraction rationnelle $\frac{P_1(X)}{P_2(X)}$ ?

24. Pour un dénominateur scindé $P_2(X)=\prod_{j=1}^{n}(X-a_j)^{m_j}$ , quels termes sont associés à un facteur $X-a_j$ de multiplicité $m_j$ ?

25. Quelle forme prend l’élément simple associé à un facteur réel quadratique $X^2+bX+c$ de discriminant négatif, lorsqu’il apparaît à la puissance $m$ ?