Fiche de révision : Pourcentages et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Proportions simples
2. Proportion d’une proportion
3. Taux d’évolution
4. Coefficients multiplicateurs
5. Évolutions successives et réciproques
6. Indices et évolutions

📖 1. Proportions simples

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Quotient de l’effectif de la partie par l’effectif total, souvent exprimé en pourcentage.

★ À maîtriser

📐 Formule — La proportion en pourcentage se calcule par $\frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}\times 100$.

Compléments

📐 Formule — Si 30 % d’une quantité Y valent 60, alors $Y=\frac{60}{0{,}30}=200$.

• Parmi 2 000 spectateurs, 480 ont moins de 20 ans, soit une proportion de $\frac{480}{2000}=0{,}24=24\,\%$.

📖 2. Proportion d’une proportion

★ À maîtriser

• Pour calculer une proportion de proportion, on multiplie les deux proportions exprimées sous forme décimale ou en pourcentage adapté.

• Si 65 % de la population sont internautes et que les 4/5 des internautes utilisent les réseaux sociaux, alors la proportion correspondante est $0{,}65\times\frac{4}{5}=0{,}52=52\,\%$.

Compléments

• Si 40 % des élèves sont des filles et que 30 % des filles sont demi-pensionnaires, alors 12 % des élèves sont des filles demi-pensionnaires.

💡 Astuce mémo

Population totale → sous-groupe → sous-sous-groupe

📖 3. Taux d’évolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution : Mesure la variation relative d’une valeur entre une valeur initiale et une valeur finale.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le taux d’évolution en pourcentage est $t=\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100$.

Compléments

• Un prix passant de 70 € à 28 € subit une baisse de $\frac{28-70}{70}\times100=-60\,\%$, soit une baisse de 60 %.

• Un prix passant de 55 € à 57,75 € augmente de 5 %, car $\frac{57{,}75-55}{55}\times100=5\,\%$.

📖 4. Coefficients multiplicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Nombre par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un taux d’évolution t exprimé en décimal, le coefficient multiplicateur est $CM=1+t$.

• Augmenter une valeur de 6 % revient à la multiplier par 1,06, tandis que diminuer une valeur de 30 % revient à la multiplier par 0,70.

Compléments

• Un prix de 211 € diminué de 34 % devient $211\times\frac{66}{100}=139{,}26\ \text{EUR}$.

💡 Astuce mémo

Augmentation : CM > 1 ; diminution : CM < 1

📖 5. Évolutions successives et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Évolution réciproque : Évolution qui permet de revenir à la valeur initiale après une première évolution.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le coefficient multiplicateur de l’évolution réciproque est l’inverse du coefficient multiplicateur initial : $CM_{réciproque}=\frac{1}{CM_{initial}}$.

• Deux évolutions successives se calculent en multipliant leurs coefficients multiplicateurs, puis en convertissant le coefficient global en taux d’évolution.

• Une baisse de 10 % suivie d’une hausse de 20 % donne un coefficient global de $0{,}90\times1{,}20=1{,}08$, soit une hausse globale de 8 %.

Compléments

• Après une augmentation de 22 %, le coefficient réciproque vaut $\frac{1}{1{,}22}\approx0{,}8197$, ce qui correspond à une baisse d’environ 18,0 %.

💡 Astuce mémo

Successives : on compose les coefficients ; réciproques : on annule le coefficient

📖 6. Indices et évolutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice base 100 : Compare une valeur à une valeur de référence, appelée valeur de base, à laquelle on attribue l’indice 100.

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec un indice base 100, la valeur finale se calcule par $\text{valeur finale}=\text{valeur initiale}\times\frac{\text{indice final}}{100}$.

• Un indice 120 en 2019 avec une base 100 en 2015 signifie que le chiffre d’affaires a augmenté de 20 % entre 2015 et 2019.

Compléments

• Pour un article dont le prix passe de 35 € en 2018 à 43,75 € en 2020, l’indice base 100 en 2018 est 125 et le taux d’évolution est de 25 %.

• Si 2 500 vaccinations correspondent à l’indice 110 en 2020, alors le nombre correspondant à l’indice 100 en 2019 est $\frac{2500\times100}{110}\approx2273$.

📊 Tableaux de synthèse

Taux et coefficients multiplicateurs