Fiche de révision : Pourcentages et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Proportions et pourcentages
2. Pourcentage d’un pourcentage
3. Coefficients multiplicateurs
4. Calculer un taux d’évolution
5. Évolutions successives et moyennes
6. Évolution réciproque

📖 1. Proportions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Quotient du nombre d’éléments concernés par le nombre total d’éléments.

★ À maîtriser

• Le pourcentage correspondant à une proportion p est $100p\,\%$.

Compléments

📌 Une proportion p est toujours comprise entre 0 et 1.

• Parmi 480 élèves de première, 108 élèves de STMG représentent une proportion de $108/480=0{,}225$, soit 22,5 %.

📖 2. Pourcentage d’un pourcentage

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour calculer un pourcentage de pourcentage, on multiplie les proportions correspondantes : $p(A\text{ dans }C)=p(A\text{ dans }B)\times p(B\text{ dans }C)$.

📌 Si A est inclus dans B et B dans C, la proportion de A dans C est le produit de la proportion de A dans B par celle de B dans C.

Compléments

• Dans un bus comprenant 40 % d’étudiants, dont 60 % sont des filles, les étudiantes représentent 24 % des personnes du bus.

💡 Astuce mémo

Proportionner une sous-population puis une population entière multiplie les deux proportions.

📖 3. Coefficients multiplicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Facteur par lequel on multiplie une valeur initiale pour obtenir sa valeur après évolution.

★ À maîtriser

• Pour une hausse de t %, on multiplie la valeur initiale par $1+t/100$ ; pour une baisse de t %, on la multiplie par $1-t/100$.

Compléments

📐 Formule - Pour un taux d’évolution t exprimé sous forme décimale, le coefficient multiplicateur est $C=1+t$ pour une hausse et $C=1+t$ avec t négatif pour une baisse.

• Une hausse de 38 % d’un article à 45 € donne un coefficient multiplicateur de 1,38 et un nouveau prix de 62,10 €.

💡 Astuce mémo

Hausse : facteur supérieur à 1 ; baisse : facteur inférieur à 1.

📖 4. Calculer un taux d’évolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution : Rapport de la variation V₁−V₀ à la valeur initiale V₀.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux d’évolution est $t=\frac{V_1-V_0}{V_0}$.

📌 Un taux d’évolution positif indique une augmentation, tandis qu’un taux négatif indique une diminution.

Compléments

• Une location passant de 600 € en mai à 750 € en juin a un taux d’évolution de 0,25, soit une augmentation de 25 %.

📖 5. Évolutions successives et moyennes

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux évolutions de taux décimaux t₁ et t₂, le taux global vérifie $1+t_G=(1+t_1)(1+t_2)$.

📐 Formule - Pour n évolutions de taux décimaux t₁ à tₙ, le taux global vérifie $1+t_G=\prod_{i=1}^{n}(1+t_i)$.

📐 Formule - Pour n évolutions de taux décimaux t₁ à tₙ, le taux moyen tₘ vérifie $1+t_m=\left(\prod_{i=1}^{n}(1+t_i)\right)^{1/n}$.

📌 Le coefficient multiplicateur global d’évolutions successives est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Compléments

📌 Augmenter une valeur de p % puis la diminuer de p % ne ramène pas à la valeur initiale.

• Une hausse de 5 % suivie d’une hausse de 20 % donne un coefficient global de 1,05 × 1,20 = 1,26, soit une hausse globale de 26 %.

• Une baisse globale de 11 % sur 3 ans correspond à un taux annuel moyen de $(1-0{,}11)^{1/3}-1\approx-0{,}038$, soit une baisse d’environ 3,8 % par an.

📖 6. Évolution réciproque

★ À maîtriser

📐 Formule - Si le coefficient initial est C, le coefficient réciproque est $C'=\frac{1}{C}$.

📌 Le coefficient multiplicateur d’une évolution réciproque est l’inverse du coefficient de l’évolution initiale.

Compléments

• Après une hausse de 35 % dont le coefficient est 1,35, revenir au prix initial nécessite le coefficient réciproque 1/1,35, soit environ 0,74, correspondant à une baisse d’environ 26 %.

• Pour passer d’un prix hors taxes à un prix toutes taxes comprises avec une TVA de 20 %, on multiplie le prix HT par 1,2.

💡 Astuce mémo

L’évolution réciproque inverse le coefficient, pas le signe du taux.