Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes canoniques
2. Forme factorisée et racines
3. Signe d’un polynôme factorisé
4. Variations et représentation graphique

📖 1. Définition et formes canoniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$.

★ À maîtriser

• Les trois formes présentées sont :
  • la forme développée
  • la forme canonique
  • la forme factorisée

📐 Formule - La forme canonique d’un polynôme du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• La forme développée d’un polynôme du second degré est unique.

• Le polynôme $2x^2+3x+8$ s’écrit sous forme canonique $2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{55}{8}$.

📖 2. Forme factorisée et racines

★ À maîtriser

📌 Un polynôme du second degré admet une forme factorisée si et seulement s’il possède des racines.

Compléments

• Pour factoriser $5x^2+10x-15$, on vérifie que $1$ et $-3$ sont des racines, puis on écrit $5(x-1)(x+3)$.

• Le polynôme $x^2-6x-7$ s’écrit sous forme canonique $(x-3)^2-16$, puis sous forme factorisée $(x+1)(x-7)$.

• Le développement de $a(x-x_1)(x-x_2)$ donne la forme développée $ax^2+bx+c$.

📖 3. Signe d’un polynôme factorisé

★ À maîtriser

📌 Pour une forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$, le signe de $f(x)$ est celui de $a$ à l’extérieur des racines et le signe opposé entre les racines.

Compléments

• Pour $f(x)=5(x-1)(x+\frac{1}{5})$, les racines sont $-\frac{1}{5}$ et $1$ et, puisque $a=5>0$, le signe de $f$ est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

📖 4. Variations et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthonormé.

★ À maîtriser

• L’axe de symétrie de la parabole représentant $f(x)=ax^2+bx+c$ a pour équation $x=\alpha$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’à $f(\alpha)=\beta$, puis croît, et son minimum est atteint en $\alpha$.

Compléments

📌 Si $a<0$, la fonction croît jusqu’à $f(\alpha)=\beta$, puis décroît, et son maximum est atteint en $\alpha$.