Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes canoniques
2. Forme factorisée et racines
3. Signe d’un polynôme factorisé
4. Variations et représentation graphique

📖 1. Définition et formes canoniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$.

★ À maîtriser

• Les trois formes présentées sont :
  • la forme développée
  • la forme canonique
  • la forme factorisée

📐 Formule - La forme canonique d’un polynôme du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• La forme développée d’un polynôme du second degré est unique.

• Le polynôme $2x^2+3x+8$ s’écrit sous forme canonique $2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{55}{8}$.

📖 2. Forme factorisée et racines

★ À maîtriser

📌 Un polynôme du second degré admet une forme factorisée si et seulement s’il possède des racines.

Compléments

• Pour factoriser $5x^2+10x-15$, on vérifie que $1$ et $-3$ sont des racines, puis on écrit $5(x-1)(x+3)$.

• Le polynôme $x^2-6x-7$ s’écrit sous forme canonique $(x-3)^2-16$, puis sous forme factorisée $(x+1)(x-7)$.

• Le développement de $a(x-x_1)(x-x_2)$ donne la forme développée $ax^2+bx+c$.