QCM : Fonctions polynômes du second degré (7 questions)

Question 1

1. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est sa forme canonique ?

2(x-2)^2-5

2(x-4)^2+3

2(x+2)^2-5

2(x-2)^2+5

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{-8}{2\times2}=2$ , puis $\beta=f(2)=8-16+3=-5$ . La forme canonique est donc $2(x-2)^2-5$ ; les autres réponses inversent le signe de $\alpha$ , omettent sa division par $2a$ ou changent le signe de $\beta$ .

Answer

$$2(x-2)^2-5$$

Question 2

2. Un polynôme du second degré n’a aucune racine réelle. Quelle conclusion peut-on tirer sur sa forme factorisée sur $\mathbb{R}$ ?

Il admet une forme factorisée avec un facteur réel répété.

Il admet une forme factorisée issue de sa forme développée.

Il n’admet pas de forme factorisée sur

\mathbb{R}

.

Il n’admet pas de forme canonique sur

\mathbb{R}

.

Explication

Un polynôme du second degré admet une forme factorisée si et seulement s’il possède des racines réelles; sans racine réelle, cette forme n’existe pas sur $\mathbb{R}$ . La forme développée et la forme canonique ne requièrent pas de racines réelles.

Answer

Il n’admet pas de forme factorisée sur $$\mathbb{R}$$.

Question 3

3. Pour factoriser $5x^2+10x-15$ , on vérifie que ses racines sont $1$ et $-3$ . Quelle forme factorisée obtient-on ?

5(x+1)(x+3)

5(x-1)(x-3)

(x-1)(x+3)

5(x-1)(x+3)

Explication

Les racines $1$ et $-3$ donnent les facteurs $x-1$ et $x-(-3)=x+3$ ; le coefficient dominant $5$ reste devant, d’où $5(x-1)(x+3)$ . Sans le facteur $5$ le coefficient dominant serait faux, tandis que les autres formes changent les racines.

Answer

$$5(x-1)(x+3)$$

Question 4

4. Dans $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ , que représente le signe de $f(x)$ entre les deux racines ?

Le signe opposé à celui de

a

Le signe positif, quel que soit

a

Le même signe que celui de

a

Le signe négatif, quel que soit

a

Explication

Entre les racines, le signe du polynôme est opposé à celui de son coefficient $a$ . À l’extérieur des racines, c’est le même signe que celui de $a$ .

Answer

Le signe opposé à celui de $$a$$

Question 5

5. Pour une fonction du second degré de coefficient $a>0$ , comment évolue-t-elle de part et d’autre de l’abscisse $\alpha=-\frac{b}{2a}$ ?

Elle décroît jusqu’à

\alpha

, puis croît, avec un minimum en

\alpha

.

Elle décroît jusqu’à

\alpha

, puis reste constante, avec un minimum en

\alpha

.

Elle croît jusqu’à

\alpha

, puis décroît, avec un maximum en

\alpha

.

Elle croît jusqu’à

\alpha

, puis reste constante, avec un maximum en

\alpha

.

Explication

Lorsque $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’au sommet, puis croît, et son minimum est atteint pour $x=\alpha$ . Le cas d’une fonction qui croît puis décroît correspond à $a<0$ et à un maximum.

Answer

Elle décroît jusqu’à $$\alpha$$, puis croît, avec un minimum en $$\alpha$$.

Question 6

6. Quel est le rôle de la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

Faire apparaître le sommet de la parabole grâce aux paramètres

\alpha

et

\beta

Déterminer le signe du polynôme entre ses deux racines réelles

Montrer directement les racines du polynôme grâce à deux facteurs

Présenter les coefficients du polynôme sous la forme

ax^2+bx+c

Explication

Dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , les paramètres $\alpha$ et $\beta=f(\alpha)$ permettent de repérer le sommet de la parabole. La forme factorisée, plutôt que la forme canonique, met directement en évidence les racines.

Answer

Faire apparaître le sommet de la parabole grâce aux paramètres $$\alpha$$ et $$\beta$$

Question 7

7. Quelle relation distingue la forme factorisée de la forme développée d’un polynôme du second degré ?

La forme factorisée présente les coefficients en ordre décroissant, tandis que la forme développée décrit l’axe de symétrie.

La forme factorisée exprime le polynôme comme un produit de facteurs associé à ses racines, tandis que la forme développée l’écrit comme une somme de termes en puissances de

x

.

La forme factorisée donne le sommet de la parabole, tandis que la forme développée indique les coordonnées de ses racines.

La forme factorisée est définie quand le polynôme n’a pas de racines, tandis que la forme développée exige deux racines réelles.

Explication

La forme factorisée met en évidence les racines dans les facteurs, alors que la forme développée prend la structure $ax^2+bx+c$ . La forme canonique, et non la forme développée, fait apparaître le sommet de la parabole.

Answer

La forme factorisée exprime le polynôme comme un produit de facteurs associé à ses racines, tandis que la forme développée l’écrit comme une somme de termes en puissances de $$x$$.

QCM : Fonctions polynômes du second degré (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est sa forme canonique ?

2. Un polynôme du second degré n’a aucune racine réelle. Quelle conclusion peut-on tirer sur sa forme factorisée sur $\mathbb{R}$ ?

3. Pour factoriser $5x^2+10x-15$ , on vérifie que ses racines sont $1$ et $-3$ . Quelle forme factorisée obtient-on ?

4. Dans $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ , que représente le signe de $f(x)$ entre les deux racines ?

5. Pour une fonction du second degré de coefficient $a>0$ , comment évolue-t-elle de part et d’autre de l’abscisse $\alpha=-\frac{b}{2a}$ ?

6. Quel est le rôle de la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

7. Quelle relation distingue la forme factorisée de la forme développée d’un polynôme du second degré ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour f(x)=2x2−8x+3f(x)=2x^2-8x+3f(x)=2x2−8x+3, quelle est sa forme canonique ?

2. Un polynôme du second degré n’a aucune racine réelle. Quelle conclusion peut-on tirer sur sa forme factorisée sur R\mathbb{R}R ?

3. Pour factoriser 5x2+10x−155x^2+10x-155x2+10x−15, on vérifie que ses racines sont 111 et −3-3−3. Quelle forme factorisée obtient-on ?

4. Dans f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​) avec x1<x2x_1<x_2x1​<x2​, que représente le signe de f(x)f(x)f(x) entre les deux racines ?

5. Pour une fonction du second degré de coefficient a>0a>0a>0, comment évolue-t-elle de part et d’autre de l’abscisse α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}α=−2ab​ ?

6. Quel est le rôle de la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

7. Quelle relation distingue la forme factorisée de la forme développée d’un polynôme du second degré ?

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1. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est sa forme canonique ?

2. Un polynôme du second degré n’a aucune racine réelle. Quelle conclusion peut-on tirer sur sa forme factorisée sur $\mathbb{R}$ ?

3. Pour factoriser $5x^2+10x-15$ , on vérifie que ses racines sont $1$ et $-3$ . Quelle forme factorisée obtient-on ?

4. Dans $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ , que représente le signe de $f(x)$ entre les deux racines ?

5. Pour une fonction du second degré de coefficient $a>0$ , comment évolue-t-elle de part et d’autre de l’abscisse $\alpha=-\frac{b}{2a}$ ?