QCM : Primitives de fonctions — 11 questions

Question 1

1. Quelle hypothèse garantit qu’une fonction possède au moins une primitive sur un intervalle $I$ ?

La fonction est dérivable sur

I

.

La fonction est bornée sur

I

.

La fonction est monotone sur

I

.

La fonction est continue sur

I

.

Explication

Toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive sur cet intervalle. La dérivabilité concerne la primitive recherchée et ne constitue pas ici l’hypothèse d’existence formulée.

Answer

La fonction est continue sur $$I$$.

Question 2

2. Comment décrire toutes les primitives d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ lorsqu’une primitive $F$ est connue ?

Elles sont les fonctions

x\mapsto F(x)+C

, avec

C\in\mathbb{R}

.

Elles sont les fonctions

x\mapsto F'(x)+C

, avec

C\in\mathbb{R}

.

Elles sont les fonctions

x\mapsto F(x)+xC

, avec

C\in\mathbb{R}

.

Elles sont les fonctions

x\mapsto C F(x)

, avec

C\in\mathbb{R}

.

Explication

Deux primitives d’une même fonction ont la même dérivée et diffèrent donc d’une constante réelle. Multiplier $F$ par une constante ou ajouter un terme dépendant de $x$ modifie en général la dérivée obtenue.

Answer

Elles sont les fonctions $$x\mapsto F(x)+C$$, avec $$C\in\mathbb{R}$$.

Question 3

3. Que peut-on affirmer pour $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$ concernant la condition $F(x_0)=y_0$ ?

Il n’existe une primitive correspondante que lorsque

x_0=0

.

Il existe une primitive de

f

seulement lorsque

y_0=0

.

Il existe une unique primitive de

f

sur

I

qui vérifie cette condition.

Il existe plusieurs primitives de

f

sur

I

qui vérifient cette condition.

Explication

La valeur imposée en un point fixe précisément la constante d’une famille de primitives, ce qui donne une primitive unique. La valeur de $y_0$ et le choix de $x_0$ n’ont pas besoin d’être nuls.

Answer

Il existe une unique primitive de $$f$$ sur $$I$$ qui vérifie cette condition.

Question 4

4. Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur un intervalle $I$ , quelles fonctions sont des primitives des fonctions correspondantes ?

kF

est une primitive de

f+k

, et

F+G

est une primitive de

f-g

.

k+F

est une primitive de

kf

, et

F-G

est une primitive de

f+g

.

kF

est une primitive de

kf

, et

F+G

est une primitive de

f+g

.

F'

est une primitive de

kf

, et

G'

est une primitive de

f+g

.

Explication

La dérivation est linéaire : $(kF)'=kF'=kf$ et $(F+G)'=F'+G'=f+g$ . Ajouter une constante ou remplacer une somme par une différence ne produit pas les fonctions annoncées dans cette règle.

Answer

$$kF$$ est une primitive de $$kf$$, et $$F+G$$ est une primitive de $$f+g$$.

Question 5

5. Quelle expression donne une primitive de $x^n$ lorsque $n\in\mathbb{N}$ ou $n\in\mathbb{Z}$ avec $n\leq -2$ ?

\frac{x^n}{n}

\ln|x|

\frac{x^{n-1}}{n-1}

\frac{x^{n+1}}{n+1}

Explication

Pour les valeurs de $n$ indiquées, la dérivée de $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ est bien $x^n$ . Le cas $n=-1$ est exclu de cette formule et conduit à une primitive logarithmique.

Answer

$$\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Question 6

6. Quelle primitive convient à la fonction $x\mapsto \frac{1}{x^2}$ sur un intervalle où elle est définie ?

2\sqrt{x}

-\frac{1}{x}

\ln|x|

\frac{1}{x}

Explication

Comme $\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}$ , cette expression est une primitive recherchée. La fonction $\ln|x|$ correspond à une primitive de $\frac1x$ , tandis que $2\sqrt{x}$ correspond à une primitive de $\frac1{\sqrt{x}}$ .

Answer

$$-\frac{1}{x}$$

Question 7

7. Quelle association entre fonction et primitive est correcte ?

\cos(t)

a pour primitive

-\sin(t)

, et

\sin(t)

a pour primitive

\cos(t)

.

e^x

a pour primitive

\ln|x|

, et

\cos(t)

a pour primitive

-\cos(t)

.

e^x

a pour primitive

e^x

, et

\sin(t)

a pour primitive

-\cos(t)

.

e^x

a pour primitive

x e^x

, et

\sin(t)

a pour primitive

\cos(t)

.

Explication

On a $(e^x)'=e^x$ et $(-\cos(t))'=\sin(t)$ , ce qui valide les deux associations. La dérivée de $\cos(t)$ est $-\sin(t)$ , tandis que celle de $\sin(t)$ est $\cos(t)$ .

Answer

$$e^x$$ a pour primitive $$e^x$$, et $$\sin(t)$$ a pour primitive $$-\cos(t)$$.

Question 8

8. Sous quelle condition une primitive de $\frac{u'}{u}$ peut-elle s’écrire $\ln|u|$ sur un intervalle $I$ ?

La fonction

u

doit être strictement positive sur

I

L’exposant associé à

u

doit être différent de

-1

La fonction

u

ne s’annule pas sur

I

La fonction

u'

ne s’annule pas sur

I

Explication

La dérivée de $\ln|u|$ est $\frac{u'}{u}$ lorsque $u$ ne s’annule pas sur l’intervalle considéré. La condition $n\ne-1$ concerne la formule de puissance $u'u^n$ , et non la formule logarithmique.

Answer

La fonction $$u$$ ne s’annule pas sur $$I$$

Question 9

9. Quelle primitive obtient-on pour une fonction de la forme $u'\sin(u)$ ?

-\cos(u)

\sin(u)

-\sin(u)

\cos(u)

Explication

Comme la dérivée de $\cos(u)$ vaut $-u'\sin(u)$ , une primitive de $u'\sin(u)$ est $-\cos(u)$ . L’expression $\sin(u)$ correspond plutôt à une primitive de $u'\cos(u)$ .

Answer

$$-\cos(u)$$

Question 10

10. Pour $\omega\ne0$ , quelle expression est une primitive de $\sin(\omega t+\varphi)$ ?

\frac{1}{\omega}\sin(\omega t+\varphi)

-\omega\cos(\omega t+\varphi)

-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)

\frac{1}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)

Explication

La dérivation de $-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)$ donne bien $\sin(\omega t+\varphi)$ après simplification par $\omega$ . La primitive avec un facteur $\frac{1}{\omega}$ positif et un sinus correspond à une fonction cosinus.

Answer

$$-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)$$

Question 11

11. Quelle démarche permet de déterminer une primitive d’une fonction composée par changement de forme adapté ?

Identifier la fonction extérieure, lui appliquer une primitive puis remplacer sa variable

Choisir

u

, calculer

u'

, réécrire la fonction, repérer la formule puis conclure

Intégrer séparément la fonction intérieure, puis dériver la fonction extérieure

Développer toutes les puissances, calculer une dérivée et choisir une constante

Explication

La méthode consiste à choisir $u$ , calculer $u'$ , exprimer la fonction à l’aide de $u$ et $u'$ , reconnaître la formule adaptée et conclure. Traiter séparément les fonctions intérieure et extérieure ne restitue pas la règle de composition.

Answer

Choisir $$u$$, calculer $$u'$$, réécrire la fonction, repérer la formule puis conclure

QCM : Primitives de fonctions — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle hypothèse garantit qu’une fonction possède au moins une primitive sur un intervalle $I$ ?

2. Comment décrire toutes les primitives d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ lorsqu’une primitive $F$ est connue ?

3. Que peut-on affirmer pour $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$ concernant la condition $F(x_0)=y_0$ ?

4. Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur un intervalle $I$ , quelles fonctions sont des primitives des fonctions correspondantes ?

5. Quelle expression donne une primitive de $x^n$ lorsque $n\in\mathbb{N}$ ou $n\in\mathbb{Z}$ avec $n\leq -2$ ?

6. Quelle primitive convient à la fonction $x\mapsto \frac{1}{x^2}$ sur un intervalle où elle est définie ?

7. Quelle association entre fonction et primitive est correcte ?

8. Sous quelle condition une primitive de $\frac{u'}{u}$ peut-elle s’écrire $\ln|u|$ sur un intervalle $I$ ?

9. Quelle primitive obtient-on pour une fonction de la forme $u'\sin(u)$ ?

10. Pour $\omega\ne0$ , quelle expression est une primitive de $\sin(\omega t+\varphi)$ ?

11. Quelle démarche permet de déterminer une primitive d’une fonction composée par changement de forme adapté ?

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QCM : Primitives de fonctions — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle hypothèse garantit qu’une fonction possède au moins une primitive sur un intervalle III ?

2. Comment décrire toutes les primitives d’une fonction fff sur un intervalle III lorsqu’une primitive FFF est connue ?

3. Que peut-on affirmer pour x0∈Ix_0\in Ix0​∈I et y0∈Ry_0\in\mathbb{R}y0​∈R concernant la condition F(x0)=y0F(x_0)=y_0F(x0​)=y0​ ?

4. Si FFF est une primitive de fff et GGG une primitive de ggg sur un intervalle III, quelles fonctions sont des primitives des fonctions correspondantes ?

5. Quelle expression donne une primitive de xnx^nxn lorsque n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N ou n∈Zn\in\mathbb{Z}n∈Z avec n≤−2n\leq -2n≤−2 ?

6. Quelle primitive convient à la fonction x↦1x2x\mapsto \frac{1}{x^2}x↦x21​ sur un intervalle où elle est définie ?

7. Quelle association entre fonction et primitive est correcte ?

8. Sous quelle condition une primitive de u′u\frac{u'}{u}uu′​ peut-elle s’écrire ln⁡∣u∣\ln|u|ln∣u∣ sur un intervalle III ?

9. Quelle primitive obtient-on pour une fonction de la forme u′sin⁡(u)u'\sin(u)u′sin(u) ?

10. Pour ω≠0\omega\ne0ω=0, quelle expression est une primitive de sin⁡(ωt+φ)\sin(\omega t+\varphi)sin(ωt+φ) ?

11. Quelle démarche permet de déterminer une primitive d’une fonction composée par changement de forme adapté ?

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1. Quelle hypothèse garantit qu’une fonction possède au moins une primitive sur un intervalle $I$ ?

2. Comment décrire toutes les primitives d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ lorsqu’une primitive $F$ est connue ?

3. Que peut-on affirmer pour $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$ concernant la condition $F(x_0)=y_0$ ?

4. Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur un intervalle $I$ , quelles fonctions sont des primitives des fonctions correspondantes ?

5. Quelle expression donne une primitive de $x^n$ lorsque $n\in\mathbb{N}$ ou $n\in\mathbb{Z}$ avec $n\leq -2$ ?

6. Quelle primitive convient à la fonction $x\mapsto \frac{1}{x^2}$ sur un intervalle où elle est définie ?

8. Sous quelle condition une primitive de $\frac{u'}{u}$ peut-elle s’écrire $\ln|u|$ sur un intervalle $I$ ?

9. Quelle primitive obtient-on pour une fonction de la forme $u'\sin(u)$ ?

10. Pour $\omega\ne0$ , quelle expression est une primitive de $\sin(\omega t+\varphi)$ ?