Fiche de révision : Primitives de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définition des primitives
2. Propriétés et détermination
3. Primitives usuelles
4. Primitives de fonctions composées

📖 1. Définition des primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive d’une fonction : Fonction dérivable sur I telle que, pour tout x de I, $F'(x)=f(x)$.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction continue sur un intervalle I admet au moins une primitive sur I.

Compléments

• Les fonctions $F(x)=2x^3+5$ et $G(x)=2x^3$ sont deux primitives de la fonction $f(x)=6x^2$ sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Une primitive F se dérive en f ; f ne se dérive pas en F.

📖 2. Propriétés et détermination

★ À maîtriser

• Si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont les fonctions $x\mapsto F(x)+C$ avec $C\in\mathbb{R}$.

• Pour tout $x_0\in I$ et tout $y_0\in\mathbb{R}$, il existe une unique primitive de f sur I telle que $F(x_0)=y_0$.

• Si F et G sont respectivement des primitives de f et g sur I, alors $kF$ est une primitive de $kf$ et $F+G$ est une primitive de $f+g$.

Compléments

• La primitive de $f(x)=x^3$ qui vaut 0 en $x=1$ est $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac54$.

💡 Astuce mémo

Condition initiale → constante C déterminée → primitive unique.

📖 3. Primitives usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Les primitives usuelles comprennent $\int mx\,dx=\frac{m x^2}{2}$, $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$, et $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n\in\mathbb{Z}, n\le -2$.

📐 Formule — Sur les intervalles où elles sont définies, une primitive de $\frac1x$ est $\ln|x|$, une primitive de $\frac1{x^2}$ est $-\frac1x$, et une primitive de $\frac1{\sqrt{x}}$ est $2\sqrt{x}$.

📐 Formule — Les primitives usuelles vérifient $\int e^x\,dx=e^x$, $\int \cos(t)\,dt=\sin(t)$ et $\int \sin(t)\,dt=-\cos(t)$.

Compléments

• La primitive de $\frac1x$ est définie sur $]0,+\infty[\, ou sur \,]-\infty,0[\,$, tandis que la primitive de $\frac1{\sqrt{x}}$ est définie sur $$]0,+\infty[,.$

📖 4. Primitives de fonctions composées

★ À maîtriser

📐 Formule — Si u ne s’annule pas sur I, une primitive de $\frac{u'}u$ est $\ln|u|$; une primitive de $u'e^u$ est $e^u$; et, pour $n\ne-1$, une primitive de $u'u^n$ est $\frac{u^{n+1}}{n+1}$.

• Une primitive de $u'\cos(u)$ est $\sin(u)$, tandis qu’une primitive de $u'\sin(u)$ est $-\cos(u)$.

• Pour tout réel ω non nul, une primitive de $\cos(\omega t+\varphi)$ est $\frac1\omega\sin(\omega t+\varphi)$, et une primitive de $\sin(\omega t+\varphi)$ est $-\frac1\omega\cos(\omega t+\varphi)$.

• Pour déterminer une primitive composée, on choisit u, on calcule u′, on exprime la fonction donnée avec u et u′, on repère la formule adaptée, puis on conclut.

Compléments

• Une primitive de $2x(x^2+1)^5$ est $\frac{(x^2+1)^6}{6}$, car on choisit $u=x^2+1$ et $u'=2x$.

💡 Astuce mémo

Choisir u → calculer u′ → réécrire → appliquer la formule.