Primitives de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définition des primitives
2. Propriétés et détermination
3. Primitives usuelles
4. Primitives de fonctions composées

📖 1. Définition des primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive d’une fonction : Fonction dérivable sur I telle que, pour tout x de I, $F'(x)=f(x)$.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction continue sur un intervalle I admet au moins une primitive sur I.

Compléments

• Les fonctions $F(x)=2x^3+5$ et $G(x)=2x^3$ sont deux primitives de la fonction $f(x)=6x^2$ sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Une primitive F se dérive en f ; f ne se dérive pas en F.

📖 2. Propriétés et détermination

★ À maîtriser

• Si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont les fonctions $x\mapsto F(x)+C$ avec $C\in\mathbb{R}$.

• Pour tout $x_0\in I$ et tout $y_0\in\mathbb{R}$, il existe une unique primitive de f sur I telle que $F(x_0)=y_0$.

• Si F et G sont respectivement des primitives de f et g sur I, alors $kF$ est une primitive de $kf$ et $F+G$ est une primitive de $f+g$.

Compléments

• La primitive de $f(x)=x^3$ qui vaut 0 en $x=1$ est $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac54$.

💡 Astuce mémo

Condition initiale → constante C déterminée → primitive unique.

📖 3. Primitives usuelles