Fiche de révision : Principes de la maîtrise statistique

📋 Plan du Cours

1. Fondements et objectifs de la MSP
2. Modélisation et loi normale
3. Adéquation et tests statistiques
4. Métrologie et étalonnage
5. Étude d’incertitude des mesures
6. Capabilités et interprétation
7. Capabilités particulières et méthode Six Sigma
8. Principes et limites des cartes de contrôle
9. Cartes spéciales et multidimensionnelles
10. Interprétation et gestion de la MSP
11. Cartes de contrôle par attributs
12. Données atypiques et limites statistiques
13. Limites adaptées et risques du SPC
14. Mesure et variabilité des échantillons
15. Tests d’adéquation à la normalité
16. Sommes de carrés et analyse de variance
17. Moyennes refusables et risques associés
18. Cartes de contrôle aux attributs

📖 1. Fondements et objectifs de la MSP

🔑 Notions clés & Définitions

• Maîtrise statistique des procédés : Utilisation de méthodes statistiques, notamment les cartes de contrôle, pour maîtriser et améliorer les procédés.

★ À maîtriser

• Les causes communes produisent une variabilité intrinsèque du procédé qui ne peut pas être réduite. - Shewhart

📌 La MSP distingue la variabilité intrinsèque due aux causes communes de la variabilité supplémentaire due aux causes spéciales, afin de déterminer les causes spéciales et d’y réagir.

• Les cinq éléments du procédé, appelés les « 5M », sont :

  • la Machine
  • la Matière
  • le Milieu
  • la Main d’œuvre
  • la Méthode

• La qualité de la mesure doit être étudiée avant la mise en place de la MSP, car une mesure non fiable peut rendre la MSP inefficace.

• Les objectifs de la MSP sont de formaliser l’aptitude d’un moyen de production et de fournir aux opérateurs un outil de pilotage qui distingue les situations ordinaires de celles nécessitant une action.

Compléments

• Walter Shewhart a posé les fondements du contrôle statistique des procédés dans son ouvrage.

• La mesure ajoute de la variabilité aux données et constitue, avec les 5M, le « M » additionnel des « (5+1)M ».

• Pour corriger un procédé insatisfaisant, les plans d’expériences et l’analyse de variance servent notamment à déterminer quels éléments du procédé sont influents.

• Pour les tubes de cuivre, les limites de tolérance sont 2,48 mm et 2,88 mm et la valeur nominale visée est 2,68 mm.

📌 Le contrôle unitaire vérifie chaque pièce, tandis que le contrôle statistique étudie des échantillons prélevés sur un lot ou à la sortie du procédé.

💡 Astuce mémo

Réduire les inspections par une meilleure maîtrise du procédé améliore la qualité et réduit les coûts.

📖 2. Modélisation et loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : La loi normale, également appelée loi gaussienne ou loi de Laplace-Gauss, est une loi symétrique en forme de cloche définie par sa moyenne μ et son écart type σ.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour K groupes de même taille n, la moyenne globale est la moyenne de leurs moyennes, $\bar{x}_G=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\bar{x}_k$.

📐 Formule - La variance intra-échantillon est la moyenne des variances non corrigées des K échantillons, $\sigma^2_{\mathrm{intra}}=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\sigma_k^2$.

📐 Formule - La variance inter-échantillon est la variance non corrigée des moyennes de groupes, $\sigma^2_{\mathrm{inter}}=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}(\bar{x}_k-\bar{x}_G)^2$.

📐 Formule - La variance globale se décompose en somme des variances intra- et inter-échantillons, $\sigma_G^2=\sigma_{\mathrm{intra}}^2+\sigma_{\mathrm{inter}}^2$.

Compléments

• La modélisation note X la variable aléatoire correspondant à la caractéristique d’intérêt, μ son espérance et σ son écart type, avec $\sigma^2=\operatorname{Var}(X)$.

• Dans le cas d’une caractéristique binaire conforme ou non conforme, X est l’indicatrice de l’ensemble C des sorties conformes et prend les valeurs 1 ou 0.

📐 Formule - Pour un échantillon de taille n de résultats binaires indépendants de probabilité de conformité p, le nombre de conformes suit $\operatorname{Bin}(n,p)$ et la moyenne empirique vérifie $\bar X=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.

📐 Formule - Si $Y\sim\operatorname{Bin}(n,p)$, alors $P(Y=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $k\in\{0{,}1,\ldots,n\}$.

• La loi normale apparaît lorsque se combinent de nombreux phénomènes indépendants et est souvent adaptée aux procédés cumulant de nombreuses perturbations.

📐 Formule - La densité de la loi normale $N(\mu;\sigma^2)$ est $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right]$.

• Pour une loi normale, la densité est centrée et symétrique autour de la moyenne, et sa base s’étend approximativement de trois écarts types de chaque côté.

• Une légère déviation à la normalité ne rend pas nécessairement inutilisables les outils de la MSP, car une normalité approximative peut suffire. - Georges Box

📐 Formule - Pour le groupe k de taille n, la moyenne empirique est $\bar{x}_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^k$.

📐 Formule - La variance empirique globale non corrigée est $s_G^2=\frac{1}{N}\sum_{i,k}(x_i^k-\bar{x}_G)^2$.

📖 3. Adéquation et tests statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque de première espèce : Probabilité de rejeter l’hypothèse nulle H0 alors qu’elle est vraie.
• Risque de seconde espèce : Probabilité d’accepter H0 alors qu’elle est fausse.
• p-valeur : Probabilité, sous H0, d’obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que celle observée.

★ À maîtriser

• La vérification d’une loi de probabilité commence généralement par l’examen graphique de la variable, puis peut être complétée par un test d’adéquation si l’interprétation visuelle laisse un doute.

• 🔄 Un test d’hypothèse suit ces étapes :

  1. Choisir les hypothèses H0 et H1.
  2. Fixer le seuil α.
  3. Calculer la statistique de test sur l’échantillon.
  4. Déterminer la région critique correspondant au seuil.
  5. Rejeter H0 si la statistique observée appartient à la région critique.

📌 Au seuil α, on rejette H0 lorsque la p-valeur est inférieure ou égale à α; sinon, on ne peut pas rejeter H0.

Compléments

• Les graphiques utilisés pour examiner une distribution comprennent :

  • l’histogramme
  • la boîte à moustaches
  • le PP-plot ou QQ-plot (droite de Henry)

• Pour une distribution normale, l’histogramme évoque une cloche, la boîte à moustaches est approximativement symétrique et les points du QQ-plot sont alignés surtout au centre.

• Une bimodalité de l’histogramme peut conduire à rejeter l’hypothèse de normalité.

• Le test du Khi-deux d’adéquation est davantage adapté aux lois discrètes, tandis que le test de Kolmogorov-Smirnov est davantage adapté aux lois continues.

• Le test de Shapiro-Wilks est un test d’adéquation spécifique à la loi normale.

• Dans l’exemple des interrupteurs, le test de Shapiro-Wilks donne une p-valeur de 0,0777; au seuil de 5 %, la normalité n’est donc pas rejetée.

📖 4. Métrologie et étalonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution : La plus petite variation de la grandeur mesurée qui produit une variation perceptible de l’indication.
• Justesse de mesure : L’étroitesse de l’accord entre la moyenne d’un nombre infini de valeurs mesurées répétées et une valeur de référence.
• Erreur aléatoire : La composante de l’erreur de mesure qui varie de façon imprévisible lors de mesurages répétés.
• Étalonnage : La mesure régulière d’une pièce de référence appelée étalon afin de vérifier l’écart entre la valeur mesurée et la valeur de l’étalon ; ses résultats peuvent servir à corriger les mesures futures.
• Incertitude de mesure : Un paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs à partir des informations utilisées.
• Biais de mesure : Une erreur de justesse ou une estimation d’une erreur systématique.

★ À maîtriser

• Le contrôle de réception distingue les hypothèses extrêmes H₀ : p = 5 % et H₁ : p = 8 %, où p est le pourcentage de pièces défectueuses du lot.

📌 Pour le contrôle de réception, 400 pièces sont examinées et la livraison est acceptée si le pourcentage d’échantillon défectueux est inférieur à 6 %, tandis qu’elle est refusée s’il est supérieur à 6 %.

Compléments

• Les applications proposées portent sur :

  • les ampoules défectueuses
  • le remplissage de flacons
  • le poids de palettes de briques
  • les tests sur la moyenne
  • la durée de vie de disques durs
  • les pièces défectueuses
  • les risques de première et de seconde espèce

• La règle de décision indiquée ne précise pas la décision à prendre lorsque le pourcentage d’échantillon défectueux est exactement égal à 6 %.

• Il est usuel de choisir un appareil dont la résolution est au moins dix fois plus fine que l’intervalle de tolérance.

• Les étalons utilisés en pratique sont raccordés aux étalons de référence internationaux avec une erreur.

• Les limites statistiques de contrôle appliquées aux étalonnages sont en général plus serrées que les limites de spécification du fournisseur.

💡 Astuce mémo

Étalonnage : erreur systématique ; étude d’incertitude : erreur aléatoire.

📖 5. Étude d’incertitude des mesures

🔑 Notions clés & Définitions

• Reproductibilité : Les variations de mesure liées à des conditions différentes, comme des instruments, des opérateurs ou des procédures différents.
• Répétabilité : La dispersion des mesures répétées sur une même pièce dans des conditions identiques et sur une courte période.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’observation mesurée est liée à la caractéristique d’intérêt et aux défauts de mesure par $Y = P + M$.

📐 Formule - Sous l’hypothèse d’indépendance entre la caractéristique mesurée et les défauts de mesure, la variance observée est $\sigma_Y^2 = \sigma_P^2 + \sigma_{MS}^2$.

📐 Formule - L’indice R&R est le rapport de la variation liée à la mesure à la variation totale : $R\&R = \frac{\sigma_{MS}}{\sigma_Y}$.

📌 Avant la mise en place d’une carte de contrôle, un R&R supérieur à 30 % conduit à améliorer le système de mesure.

Compléments

📐 Formule - La capabilité du moyen de contrôle est définie par $C_{MS} = \frac{IT}{6\sigma_{MS}}$.

📐 Formule - L’indice précision sur tolérance est défini par $P/T = \frac{6\sigma_{MS}}{IT}$.

• Un R&R ou un P/T inférieur à 10 % indique une très bonne capabilité de la mesure, un indice inférieur à 30 % indique un système capable et améliorable, et un indice supérieur à 30 % indique un système inapte à mesurer en production.

• Une étude d’incertitude fait varier des facteurs de reproductibilité et répète les mesures afin d’estimer la répétabilité.

• Un plan D-optimal appliqué à une étude d’incertitude peut prendre en compte plusieurs facteurs de reproductibilité et limiter le nombre d’essais lorsque le plan factoriel complet est irréalisable.

📐 Formule - Dans un modèle d’analyse de la variance sans interaction, l’observation s’écrit $Y_{ij} = \mu + P_i + O_j + \varepsilon_{ij}$, où les termes représentent la moyenne, l’effet pièce, l’effet opérateur et le résidu.

📐 Formule - Dans le modèle avec interaction entre pièce et opérateur, l’observation s’écrit $Y_{ijk} = \mu + P_i + O_j + (OP)_{ij} + \varepsilon_{ijk}$.

• L’analyse de la variance distingue les sources suivantes :
  • Effet pièce.
  • Effet opérateur.
  • Interaction pièce-opérateur.
  • Résidu.

💡 Astuce mémo

Pièces, conditions de mesure, répétitions.

📖 6. Capabilités et interprétation

🔑 Notions clés & Définitions

• Capabilité : Sous l’hypothèse de normalité, la capabilité est le rapport de l’intervalle de tolérance à six fois l’écart type : $C = \frac{IT}{6\sigma}$.

★ À maîtriser

• Une capabilité de 1,33 correspond à un intervalle de tolérance égal à 8σ et constitue l’objectif visé pour déclarer un moyen capable.

📌 La capabilité long terme Pp utilise la dispersion globale du procédé, tandis que la capabilité court terme Cp utilise la dispersion instantanée.

Compléments

📐 Formule - La capabilité long terme est calculée par $P_p = \frac{IT}{6\sigma_G}$.

📐 Formule - La capabilité court terme est calculée par $C_p = \frac{IT}{6\sigma_I}$.

📐 Formule - Les indices tenant compte du décentrage sont définis par $P_{pk}\ (\text{ou } C_{pk}) = \frac{\min(|T_s-\bar{X}|, |T_i-\bar{X}|)}{3\sigma}$, avec l’écart type correspondant au long ou au court terme.

📐 Formule - L’indicateur de Taguchi est défini par $P_{pm} = \frac{IT}{6\sqrt{\sigma_G^2 + (\bar{X}-m_0)^2}}$ et reflète la perte liée à un déréglage.

• Pour estimer la variabilité long terme, les données doivent représenter l’ensemble de la production et être étalées sur au moins une semaine de production.

📐 Formule - La variabilité court terme peut être estimée par la moyenne des écarts types d’échantillons corrigée par le coefficient de biais : $s_I = \frac{\bar{S}}{c_4(n)}$.

📐 Formule - La variabilité court terme peut également être estimée à partir de la moyenne des étendues corrigée par le coefficient correspondant : $s_I = \frac{\bar{E}}{d_2(n)}$.

• Pour déclarer une capabilité suffisante, l’objectif usuel est de viser 1,33 ; les valeurs supérieures à 1,67 ou à 2 sont généralement des objectifs trop élevés.

📌 Les indices de capabilité doivent être calculés sur les données brutes représentant les pièces livrées, et non sur des moyennes.

💡 Astuce mémo

Cp décrit le court terme ; Pp décrit le long terme.

📖 7. Capabilités particulières et méthode Six Sigma

★ À maîtriser

📌 Avec une seule limite haute, on calcule Ppk ou Cpk à partir de $\frac{T_s-\text{moyenne}}{3\sigma}$ ; avec une seule limite basse, on utilise $\frac{\text{moyenne}-T_i}{3\sigma}$.

• Avec une seule limite de tolérance, Pp et Cp ne sont pas calculables ; la capabilité s’évalue uniquement par Ppk ou Cpk.

• Dans la méthode Six Sigma, la capabilité Z correspond au nombre d’écarts types séparant la spécification de la moyenne de production, selon $Z=\frac{\text{Spécification}-\bar X}{\sigma}$.

Compléments

📌 Pour un paramètre à limite de tolérance unique, il ne faut pas créer artificiellement une seconde limite par symétrie, car ces paramètres sont par nature non symétriques.

• Pour un procédé fortement non normal, une méthode non paramétrique remplace 6σ (ou 3σ pour Ppk) par un équivalent couvrant, sous une loi normale, 99.73 % des valeurs.

• Dans l’application Six Sigma, un objectif Z = 6 est associé à une production hors tolérance de 1 ppm pour une tolérance unilatérale.

• Pour une tolérance bilatérale, l’application Six Sigma retient un décentrage de 1,5σ et associe Z = 6 à Cp = 2 et Cpk = 1,5.

📐 Formule - La relation présentée entre Ppm et Pp est $P_{pm}=\frac{IT}{6\sqrt{\sigma_g^2+(\bar X-m_0)^2}}=\frac{P_p}{\sqrt{1+9(P_p-P_{pk})^2}}$.

💡 Astuce mémo

Une limite appelle Ppk/Cpk ; deux limites permettent aussi Pp/Cp.

📖 8. Principes et limites des cartes de contrôle

★ À maîtriser

• Les cartes de contrôle servent à suivre les dérives de position et de dispersion, à distinguer les causes communes des causes spéciales et à guider l’intervention.

📐 Formule - Les limites naturelles de contrôle sont définies par $LC=m_0\pm3\sigma$ ; pour une statistique Y, elles s’écrivent $LC_Y=\bar Y\pm3\sigma_Y$.

📌 Les limites de contrôle sont calculées statistiquement pour maîtriser le procédé et peuvent être révisées, tandis que les limites de tolérance s’appliquent au produit, sont fixées par ses exigences de fonctionnement et restent fixes.

• Une mesure hors limites de contrôle ne signifie pas nécessairement que le produit est mauvais, alors qu’un produit mesuré hors des limites de tolérance est considéré mauvais.

Compléments

• Sous l’hypothèse de normalité et lorsque le procédé est centré, la probabilité d’observer un point hors des limites situées à ±3 écarts types est de 0,27 %.

📐 Formule - Pour des échantillons de taille n et un écart type σ connu, les limites de la carte des moyennes de Shewhart sont $LC_{\bar X}=m_0\pm3\frac{\sigma}{\sqrt n}$.

📐 Formule - Lorsque σ est inconnu, il peut être estimé par $\hat\sigma=\bar S/c_4$, donnant les limites $LC_{\bar X}=m_0\pm3\bar S/(c_4\sqrt n)=m_0\pm A_3\bar S$.

📐 Formule - La carte des moyennes fondée sur les étendues utilise $LC_{\bar X}=m_0\pm3\bar R/(d_2\sqrt n)=m_0\pm A_2\bar R$.

• Pour des relevés individuels de taille 1, les cartes Valeur/Étendue glissante ou Moyenne glissante/Étendue glissante estiment une variabilité intermédiaire à partir des n dernières valeurs.

📌 La carte Valeur/Étendue glissante est préférée lorsqu’une dérive rapide est possible, tandis que la carte Moyenne glissante/Étendue glissante convient davantage aux dérives lentes.

💡 Astuce mémo

Contrôle = procédé ; tolérance = produit.

📖 9. Cartes spéciales et multidimensionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule - La carte EWMA calcule la moyenne pondérée $M_i=\lambda\bar X_i+(1-\lambda)M_{i-1}$, où λ pondère l’échantillon courant et 1−λ l’historique.

📐 Formule - La carte CUSUM suit les sommes cumulées des écarts à la cible, avec $S_i^+=\max(0,S_{i-1}^++z_i-\kappa)$ pour détecter une hausse et $S_i^-=\max(0,S_{i-1}^-+z_i+\kappa)$ pour détecter une baisse.

Compléments

• Dans une carte EWMA, λ = 0,1 favorise la détection des petits écarts, λ = 0,2 constitue un compromis et λ = 0,4 donne un résultat proche de la carte de Shewhart.

• La Période Opérationnelle Moyenne (POM) est le nombre moyen d’échantillons nécessaires pour détecter un décentrage ; POM0 concerne un décalage inexistant et est liée au risque α de fausse alarme.

📌 Pour une carte CUSUM, le coefficient de sensibilité κ est généralement choisi égal à δ/2, où δ est le décalage que l’on souhaite détecter, et les limites sont ±h.

📌 Après un réglage, une carte CUSUM doit être réinitialisée avec $S_0^+=S_0^-=0$ afin d’écarter les valeurs associées au réglage précédent.

• Les cartes CUSUM détectent efficacement les dérives de petite ou moyenne amplitude, tandis que les cartes de Shewhart détectent mieux les fortes dérives brutales.

• Pour p caractéristiques suivies par des cartes séparées ayant chacune un risque α, le risque d’au moins une fausse alarme vaut $1-(1-\alpha)^p$ et est approximativement égal à pα.

• Pour une carte multidimensionnelle, la distance $n(\bar X-\mu)'\Sigma^{-1}(\bar X-\mu)$ suit une loi du Khi-deux à p degrés de liberté lorsque μ et Σ sont connus.

📖 10. Interprétation et gestion de la MSP

🔑 Notions clés & Définitions

• Procédé sous contrôle : Centré sur la cible, sans dérive de position, et présentant une dispersion stable, sans dérive de dispersion.
• Indice d’instabilité : Le pourcentage de points détectés hors contrôle.

★ À maîtriser

• Un procédé peut être sous contrôle sans être capable de respecter les tolérances du client, car les limites de contrôle dépendent de la variabilité du procédé tandis que les tolérances sont fixées par le client.

• Lorsqu’un point est hors contrôle, la règle opérationnelle est d’arrêter le procédé ou le processus pour rechercher la cause.

• Il faut éviter la mise à jour automatique des limites de contrôle, car elle peut adapter les limites à une dérive et empêcher sa détection ; la décision finale de révision revient au responsable du procédé.

• L’indice d’instabilité doit être suivi globalement puis décliné par sous-processus et par responsable afin de soutenir l’amélioration continue du contrôle du procédé.

📌 Les hors contrôle doivent obligatoirement être commentés, même si les audits de cartes révèlent souvent des commentaires absents ou insuffisants.

• Les pistes d’amélioration sont : former les opérateurs, techniciens et ingénieurs au SPC, revoir régulièrement les limites de contrôle de manière statistique, utiliser les OCAP pour standardiser les sorties servant de commentaires

Compléments

• Une procédure de réaction à un hors contrôle, appelée OCAP (Out of Control Action Plan), doit être prévue pour chaque paramètre sous MSP et formalisée avec les responsables puis mise en œuvre après formation des opérateurs.

• Dans le calcul de rétrécissement des limites, si l’écart entre l’étendue statistique recalculée et celle des limites actuelles dépasse par exemple 30 %, le responsable de la carte est alerté et décide d’une éventuelle modification.

• Selon Deming, 6 % des causes sont des causes spéciales, ce qui donne un repère pour apprécier l’indice d’instabilité.

• Un indice d’instabilité trop élevé peut témoigner d’une mauvaise mise en place de la MSP.

📌 Dès qu’une organisation utilise des cartes de contrôle, elle doit disposer d’un système de gestion de la MSP pour progresser vers des procédés moins soumis aux variations incontrôlées.

💡 Astuce mémo

Dérive détectée → action définie par l’OCAP.

📖 11. Cartes de contrôle par attributs

★ À maîtriser

📌 Le contrôle aux attributs classe les articles comme bons ou non bons, ou comptabilise leurs défauts ; il peut simplifier un contrôle mesuré au prix d’une perte d’information, en échange d’un gain de rapidité et de coût.

• Les quatre cartes principales aux attributs sont les cartes p et np pour les produits défectueux, et les cartes c et u pour les défauts.

📐 Formule - Pour la carte np, le nombre de défectueux Y suit une loi binomiale B(n,p), avec $p=\frac{\text{nombre total de défectueux}}{nK}$, $E(Y)=np$ et $\sigma(Y)=\sqrt{np(1-p)}$.

📐 Formule - Pour la carte c, le nombre de défauts C suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda=E(C)=Var(C)$, estimé par $\bar c=\frac{c_1+\cdots+c_K}{K}$.

📐 Formule - Pour la carte u, le nombre moyen de défauts par unité est $u=\frac{c}{n}$, et ses limites sont $LCS=u+3\sqrt{\frac{u}{n}}$ et $LCI=u-3\sqrt{\frac{u}{n}}$.

Compléments

• Pour la carte np, la taille des sous-groupes est généralement comprise entre 50 et 200 afin que l’estimation du nombre de défectueux soit significative.

📐 Formule - Pour la carte p, la proportion observée est $P=\frac{Y}{n}$, avec $E(P)=p$ et $\sigma(P)=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.

💡 Astuce mémo

Défectueux = articles non conformes ; défauts = non-conformités comptées

📖 12. Données atypiques et limites statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Ppk % : Le Ppk % est une capabilité de long terme pour les attributs, définie de façon à correspondre au pourcentage hors tolérance du Ppk calculé sous hypothèse normale.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour les produits défectueux, la capabilité est $Ppk\%=\frac{z_T}{3}$, où zT est le quantile normal centré réduit correspondant au pourcentage moyen toléré de défectueux pT. - Pillet

📌 Pour construire une carte de contrôle, il faut examiner l’histogramme et décrire les données ; un test de normalité n’est pas nécessaire en pratique lorsque la non-normalité visuelle est faible.

📌 L’estimation des limites doit reposer sur un procédé sous contrôle et sans causes spéciales afin que les limites puissent ensuite détecter ces causes.

• Pour des données fortement non normales de particules, l’approximation à trois sigma est inadaptée, car le taux réel de hors contrôle peut différer du taux théorique fondé sur la normalité.

• Le lissage à noyau permet d’estimer des quantiles avec quelques dizaines de points ; dans l’exemple de 36 mesures de particules, les quantiles estimés sont 195 particules à 95 % et 268 particules à 99 %.

Compléments

📐 Formule - Pour les défauts modélisés par une loi de Poisson de paramètre λ, la probabilité d’observer x défauts est $P(X=x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$.

• Si au plus un défaut est toléré, la probabilité tolérée est $p_T=e^{-\lambda}(1+\lambda)$ ; pour une moyenne de 0,75 défaut, elle vaut 0,8266415 et le Ppk % vaut environ 0,3136587.

• Dans l’étude de fonderie, les valeurs inférieures à 50 kg, tronquées à la limite de spécification et identifiées comme causes spéciales, sont exclues du calcul des limites, tandis que les valeurs supérieures à 400 kg sont conservées en l’absence de cause spéciale identifiée.

• Les quantiles empiriques permettent de fixer des limites sans supposer la normalité, mais l’estimation des quantiles de l’ordre du pourcent nécessite quelques centaines de points, difficiles à obtenir en petites ou moyennes séries.

• Dans l’exemple de particules, la limite supérieure est fixée au quantile 95 %, équivalent à 2σ pour une loi normale, plutôt qu’au quantile 99 % équivalent à 3σ, car les valeurs élevées sont indésirables et peuvent guider l’amélioration de la qualité.

• Dans l’exemple, la carte fondée sur le quantile 95 % détecte un point hors contrôle sur 36, soit environ 3 %, tandis que la carte individuelle à ±3σ détecte quatre points, soit environ 11 %.

💡 Astuce mémo

Limites à ±3σ supposent la normalité ; quantiles et lissage s’adaptent aux distributions non normales

📖 13. Limites adaptées et risques du SPC

★ À maîtriser

• Avec une forte non-normalité, les limites classiques à ±3σ peuvent produire trop de hors contrôle, car elles reposent sur une distribution normale.

📌 Pour des données fortement non normales, il est recommandé d’utiliser une seule limite de contrôle correspondant au quantile à 95 % plutôt que des limites à 3σ.

• Une carte de contrôle bien réglée présente un risque de fausse alarme inférieur à 5 % pour une carte donnée.

• Pour contrôler un paramètre autocorrélé, on calcule une EWMA du focus avec une pondération de 0,4, on définit le résidu comme le focus moins sa prévision, puis on applique une carte I aux résidus. - S. Weed et P. Spagon, Motorola University

• L’application directe d’une carte standard à des données autocorrélées est inadaptée, car l’indépendance des observations n’est pas assurée et les limites de contrôle peuvent être inadéquates.

Compléments

📌 Si l’échantillon comporte moins de 100 points, le lissage à noyau permet d’estimer la distribution et de calculer les limites de contrôle à partir de cette distribution ajustée.

• Le risque de ne pas détecter un vrai problème doit être minimisé pour les paramètres critiques qui influent sur la qualité du produit.

• La dépendance entre les données peut cumuler la variabilité et conduire à une surestimation de celle-ci, donc à des limites de contrôle trop larges.

📌 Il faut vérifier graphiquement la présence d’une structure temporelle ou spatiale et, si les données sont autocorrélées, ne pas appliquer directement une carte standard au paramètre.

💡 Astuce mémo

Quantiles ajustés à la distribution réelle, plutôt que limites classiques à 3σ.

📖 14. Mesure et variabilité des échantillons

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Kolmogorov-Smirnov : Le test de Kolmogorov-Smirnov compare la fonction de répartition empirique à la fonction de répartition théorique; sa statistique est $Z_{KS}=\sqrt{n}\,d_{KS}(\hat F_n,F_0)$, où $d_{KS}(\hat F_n,F_0)=\max_x|\hat F_n(x)-F_0(x)|$.
• Test du Khi-deux d’ajustement : Le test du Khi-deux d’ajustement compare les effectifs observés et théoriques selon $K=\sum_{k=0}^{\tau}\frac{(n_{Obs}(k)-n_{Theo}(k))^2}{n_{Theo}(k)}$.

★ À maîtriser

📌 Avant de mettre en place une carte de contrôle, il faut vérifier la capacité du système de mesure par une étude d’incertitude.

• Dans l’étude aéronautique, l’indice R&R était supérieur à 30 % avant amélioration du système de mesure, puis inférieur à 30 % après les actions d’amélioration.

📌 Il ne faut pas mettre en place une carte de contrôle ni un suivi Pp/Ppk si la mesure n’est pas capable; il faut d’abord améliorer la mesure afin d’obtenir un R&R et un P/T inférieurs à 30 %.

• Dans le cas d’une variation inter-échantillons bien supérieure à la variation intra-échantillon, l’estimation classique fondée sur l’étendue intra-échantillon peut produire des limites de contrôle trop serrées et de nombreuses fausses alarmes.

• 🔄 La méthode recommandée consiste à :

  1. Calculer la moyenne de chaque échantillon.
  2. Appliquer une carte I aux moyennes.
  3. Calculer les limites à ±3σ sur ces moyennes.

📌 L’approximation du test du Khi-deux exige que les effectifs théoriques soient non nuls et qu’au plus 5 % d’entre eux soient inférieurs à 5.

Compléments

• Dans l’exemple des 20 échantillons d’interrupteurs, la statistique de Kolmogorov-Smirnov vaut 1,08 et la p-valeur est comprise entre 10 % et 20 %; au seuil de 5 %, l’hypothèse de normalité n’est pas rejetée.

• Dans l’exemple étudié, les conditions de Cochran ne sont pas respectées et l’échantillon est insuffisant pour effectuer un test du Khi-deux dans de bonnes conditions.

💡 Astuce mémo

Variabilité intra-échantillon ≠ variabilité des moyennes d’échantillons.

📖 15. Tests d’adéquation à la normalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’un test : La puissance d’un test désigne sa capacité à détecter la non-normalité et dépend du type de non-normalité.
• Quantile : Le quantile d’ordre p d’une variable aléatoire X est une valeur x telle que sa fonction de répartition vérifie $F(x)=P(X\leq x)=p$.

★ À maîtriser

• Le test de Shapiro-Wilks est un test de normalité capable de détecter la non-normalité, même avec un échantillon de taille réduite.

• La statistique W du test de Shapiro-Wilks compare la forme de la distribution de l’échantillon à celle de la loi normale.

📐 Formule - Pour deux variables aléatoires X et Y, $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$.

📐 Formule - Pour un échantillon indépendant et identiquement distribué de taille n issu de X, $\operatorname{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{\operatorname{Var}(X)}{n}$.

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

📐 Formule - Pour une partition d’événements $(B_i)_{i=1}^{n}$ et un événement A, la loi des causes totales s’écrit $P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\mid B_i)P(B_i)$.

Compléments

• Pour appliquer le test du Khi-deux d’ajustement à une loi normale, on répartit les observations en classes, par exemple 0 ≤ X < 1, 1 ≤ X < 2, …, 6 ≤ X.

• La statistique W est un rapport de deux estimateurs liés à la variance : l’un repose sur la somme des carrés des écarts à la moyenne et l’autre sur les étendues partielles.

💡 Astuce mémo

Khi-deux classe les observations ; Shapiro-Wilks compare les formes.

📖 16. Sommes de carrés et analyse de variance

★ À maîtriser

• Pour une suite de variables binomiales X_n de loi B(n,p), le théorème de Moivre-Laplace donne la convergence de la variable centrée-réduite vers la loi normale centrée réduite : $\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0{,}1)$.

• Pour une variable X de loi de Poisson de paramètre λ, lorsque λ tend vers l’infini, la variable centrée-réduite converge en loi vers la loi normale centrée réduite : $\frac{X-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\xrightarrow[\lambda\to\infty]{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0{,}1)$.

📐 Formule - Pour les observations de K groupes, la somme des carrés totale est $SC_{\mathrm{totale}}=\sum_j\sum_i(x_i^j-\bar{x}_G)^2$, où $\bar{x}_G$ est la moyenne générale.

📐 Formule - La somme des carrés intra-groupes est $SC_{\mathrm{intra}}=\sum_j\sum_i(x_i^j-\bar{x}_j)^2$, où $\bar{x}_j$ est la moyenne du groupe j.

📐 Formule - La somme des carrés inter-groupes vérifie $SC_{\mathrm{inter}}=\sum_j\sum_i(\bar{x}_j-\bar{x}_G)^2=n\sum_j(\bar{x}_j-\bar{x}_G)^2$.

📐 Formule - La décomposition des sommes de carrés est $SC_{\mathrm{totale}}=SC_{\mathrm{inter}}+SC_{\mathrm{intra}}$.

📐 Formule - Dans la statistique de l’analyse de la variance, $F=\frac{SC_{\mathrm{inter}}/(K-1)}{SC_{\mathrm{intra}}/(N-K)}$ suit une loi de Fisher lorsque l’hypothèse d’égalité des moyennes est vérifiée.

Compléments

📌 Pour juger l’approximation normale d’une loi binomiale, on vérifie généralement que np et n(1-p) sont supérieurs à 5 ; certains critères utilisent plutôt le seuil 10, ou demandent n > 50 et p non proche de 0 ni de 1.

📐 Formule - L’approximation normale de la loi binomiale B(n,p) s’écrit $B(n,p)\approx\mathcal{N}\bigl(\mu=np;\,\sigma^2=np(1-p)\bigr)$.

📌 L’approximation normale de la loi de Poisson est indiquée comme très satisfaisante pour λ ≥ 18, tandis que λ ≥ 15 est aussi cité comme hypothèse suffisante. - Saporta

📐 Formule - L’approximation normale de la loi de Poisson de paramètre λ s’écrit $P(\lambda)\approx\mathcal{N}(\mu=\lambda;\,\sigma^2=\lambda)$.

• Les degrés de liberté associés aux sommes de carrés totale, intra-groupes et inter-groupes sont respectivement N − 1, N − K et K − 1.

• L’analyse de la variance suppose l’égalité des variances dans les groupes, avec une variance commune notée σ².

📐 Formule - Sous l’hypothèse d’égalité des variances, $\frac{SC_{\mathrm{intra}}}{N-K}$ estime la variance commune σ² ; sous l’hypothèse nulle d’égalité des moyennes, $\frac{SC_{\mathrm{inter}}}{K-1}$ l’estime également.

📐 Formule - Avec les variances définies comme variance des moyennes de groupes et moyenne des variances de groupes, $\sigma_G^2=\sigma_{\mathrm{inter}}^2+\sigma_{\mathrm{intra}}^2$.

💡 Astuce mémo

La somme de carrés totale se partage en deux blocs : inter et intra-groupes.

📖 17. Moyennes refusables et risques associés

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque de fausse alarme : La probabilité qu’une moyenne d’échantillon dépasse les limites de contrôle alors que le procédé est sous contrôle.
• Risque client : La probabilité de ne pas détecter un décalage existant du procédé.

★ À maîtriser

📌 Les limites de tolérance s’appliquent aux unités X, tandis que les limites de contrôle s’appliquent à la moyenne d’échantillon X̄, dont l’écart type vaut σ/√n.

📐 Formule - Pour un procédé centré en mrs et un décalage positif, le pourcentage p d’unités hors tolérance est approché par $p=P[X>Ts]$, d’où $mrs=Ts-u_{1-p}\sigma$.

📐 Formule - Si Pδ est la probabilité qu’un échantillon ne détecte pas le décalage, la période moyenne avant détection vaut $POM=\frac{1}{1-Pδ}$.

📐 Formule - Pour que la probabilité d’attendre plus de η contrôles avant la détection soit au plus π, la période maximale vérifie $POMAX\geq\frac{\ln(\pi)}{\ln(Pδ)}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un procédé centré en mri et un décalage négatif, $p=P[X<Ti]$ et $mri=Ti+u_{1-p}\sigma$.

📐 Formule - Pour des limites de contrôle symétriques autour de m0, le risque de fausse alarme vérifie $\alpha=2\left[1-\Phi\left(\left(\frac{Ts-m0}{\sigma}-u_{1-p}\right)\sqrt n\right)\right]$.

• Dans l’application numérique des moyennes refusables, σ=4 conduit à mrs=347,6 et mri=352,4, ce qui est impossible puisque TS=360 et TI=340 donnent mrs supérieur à mri.

📐 Formule - Sous contrôle, la période moyenne entre fausses alarmes est $POM_0=\frac{1}{\alpha}$, tandis qu’en présence d’un décalage elle vaut $POM_δ=\frac{1}{1-β(δ)}$.

• Pour σ=1, m0=80, n=4, δ=1 et π=5 %, l’application donne Pa(δ)=84 %, POM=6,25, arrondi à 7, et POMAX=17,33, arrondi à 18.

💡 Astuce mémo

X décrit les unités et les tolérances ; X̄ décrit les moyennes et les limites de contrôle.

📖 18. Cartes de contrôle aux attributs

🔑 Notions clés & Définitions

• Carte np : Une carte suit le nombre de pièces défectueuses dans des échantillons de taille constante ; ce nombre suit une loi binomiale B(n,p).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une carte np, les limites de contrôle sont $LC_{np}=np\pm3\sqrt{np(1-p)}$, avec p estimé par la proportion observée de pièces défectueuses.

📐 Formule - Pour une carte u, les limites de contrôle sont $LC_u=\bar u\pm3\sqrt{\frac{\bar u}{n}}$, et toute limite inférieure négative est ramenée à zéro.

📐 Formule - Pour une carte c fondée sur un nombre de défauts de Poisson, les limites sont $LC=\bar c\pm3\sqrt{\bar c}$, et une limite négative est ramenée à zéro.

Compléments

• Dans l’exemple des interrupteurs, 25 échantillons de 50 pièces comptent 60 défectueux, soit p̂=0,048 ; les limites arrondies de la carte np sont 0 et 6, et aucun point n’est hors limite.

• Dans l’exemple des lave-linge, l’échantillon 6 est hors contrôle sur la carte u ; après son retrait justifié, ū=0,1011 et les limites sont 0,005 et 0,196.

📌 Pour les interrupteurs, la probabilité binomiale d’observer plus de 6 défectueux vaut environ 0,00955, alors que l’approximation normale donne environ 0,12 % et se révèle inadéquate lorsque np est proche de 2,4.

• Pour un nombre moyen de défauts de Poisson égal à 0,56, la probabilité d’avoir zéro défaut vaut e⁻⁰·⁵⁶=0,571 ; le quantile normal associé donne Ppk%=0,06.

• Avec une tolérance d’au plus un défaut dans le même exemple, la probabilité cumulée vaut 0,891 et Ppk%=0,41 ; pour atteindre une capabilité de 1, il faut accepter au plus 4 défauts, et au plus 5 pour une capabilité de 1,33.

📌 L’approximation normale d’une loi de Poisson est jugée abusive lorsque le paramètre estimé est trop faible ; dans l’exemple vidéo, λ̂=3,39<15 et le Ppk% calculé par approximation est faible malgré des échantillons sous contrôle.

📐 Formule - L’écart type instantané peut être estimé par $s_I=\frac{\bar S}{c_4}$ ou par $s_I=\frac{\bar R}{d_2}$, où S̄ est la moyenne des écarts-types et R̄ la moyenne des étendues.

📊 Tableaux de synthèse

Cartes de contrôle par attributs